Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123866 / 25626
↖ ↑ ↗
← N 73.206079°
E160.208130°		 ← 88.25 m → N 73.206079°
E160.210876°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
N 73.205285°
E160.208130°		 ← 88.25 m →
7 787 m²		 N 73.205285°
E160.210876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945026397705078 y=0.195514678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945026397705078 × 217)
    floor (0.945026397705078 × 131072)
    floor (123866.5)     		tx = 123866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195514678955078 × 217)
    floor (0.195514678955078 × 131072)
    floor (25626.5)     		ty = 25626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123866 / 25626 ti = "17/123866/25626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123866/25626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123866 ÷ 217
    123866 ÷ 131072     		x = 0.945022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25626 ÷ 217
    25626 ÷ 131072     		y = 0.195510864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945022583007812 × 2 - 1) × π
    0.890045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79615935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195510864257812 × 2 - 1) × π
    0.608978271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91316166383644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79615935} λ = 2.79615935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91316166383644))-π/2
    2×atan(6.77447358310617)-π/2
    2×1.42424172033067-π/2
    2.84848344066133-1.57079632675     		φ = 1.27768711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79615935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27768711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.206079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123866 KachelY 25626 2.79615935 1.27768711 160.208130 73.206079
    Oben rechts KachelX + 1 123867 KachelY 25626 2.79620729 1.27768711 160.210876 73.206079
    Unten links KachelX 123866 KachelY + 1 25627 2.79615935 1.27767326 160.208130 73.205285
    Unten rechts KachelX + 1 123867 KachelY + 1 25627 2.79620729 1.27767326 160.210876 73.205285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27768711-1.27767326) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27768711-1.27767326) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79615935-2.79620729) × cos(1.27768711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288930226074065 × 6371000     		do = 88.2467281069808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79615935-2.79620729) × cos(1.27767326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.288943485346037 × 6371000     		du = 88.2507778299347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27768711)-sin(1.27767326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288930226074065-0.288943485346037)×R²
    abs(2.79620729-2.79615935)×1.32592719720992e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32592719720992e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32592719720992e-05×40589641000000     		ar = 7786.92435146189m²