Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123857 / 25815
↖ ↑ ↗
← N 73.055442°
E160.183410°		 ← 89.02 m → N 73.055442°
E160.186157°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
N 73.054642°
E160.183410°		 ← 89.02 m →
7 923 m²		 N 73.054642°
E160.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944957733154297 y=0.196956634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944957733154297 × 217)
    floor (0.944957733154297 × 131072)
    floor (123857.5)     		tx = 123857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196956634521484 × 217)
    floor (0.196956634521484 × 131072)
    floor (25815.5)     		ty = 25815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123857 / 25815 ti = "17/123857/25815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123857/25815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123857 ÷ 217
    123857 ÷ 131072     		x = 0.944953918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25815 ÷ 217
    25815 ÷ 131072     		y = 0.196952819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944953918457031 × 2 - 1) × π
    0.889907836914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.79572792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196952819824219 × 2 - 1) × π
    0.606094360351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.90410158980825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79572792} λ = 2.79572792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90410158980825))-π/2
    2×atan(6.71337355428212)-π/2
    2×1.42292716446737-π/2
    2.84585432893474-1.57079632675     		φ = 1.27505800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79572792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.183410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27505800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.055442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123857 KachelY 25815 2.79572792 1.27505800 160.183410 73.055442
    Oben rechts KachelX + 1 123858 KachelY 25815 2.79577586 1.27505800 160.186157 73.055442
    Unten links KachelX 123857 KachelY + 1 25816 2.79572792 1.27504403 160.183410 73.054642
    Unten rechts KachelX + 1 123858 KachelY + 1 25816 2.79577586 1.27504403 160.186157 73.054642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27505800-1.27504403) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dl = 89.0028699994825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27505800-1.27504403) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dr = 89.0028699994825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79572792-2.79577586) × cos(1.27505800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291446203473562 × 6371000     		do = 89.0151723660448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79572792-2.79577586) × cos(1.27504403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291459566968593 × 6371000     		du = 89.0192539214036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27505800)-sin(1.27504403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291446203473562-0.291459566968593)×R²
    abs(2.79577586-2.79572792)×1.33634950308381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33634950308381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33634950308381e-05×40589641000000     		ar = 7922.78744931007m²