Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123851 / 25826
↖ ↑ ↗
← N 73.046635°
E160.166931°		 ← 89.06 m → N 73.046635°
E160.169678°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
N 73.045834°
E160.166931°		 ← 89.06 m →
7 932 m²		 N 73.045834°
E160.169678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944911956787109 y=0.197040557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944911956787109 × 217)
    floor (0.944911956787109 × 131072)
    floor (123851.5)     		tx = 123851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197040557861328 × 217)
    floor (0.197040557861328 × 131072)
    floor (25826.5)     		ty = 25826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123851 / 25826 ti = "17/123851/25826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123851/25826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123851 ÷ 217
    123851 ÷ 131072     		x = 0.944908142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25826 ÷ 217
    25826 ÷ 131072     		y = 0.197036743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944908142089844 × 2 - 1) × π
    0.889816284179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.79544030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197036743164062 × 2 - 1) × π
    0.605926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90357428391243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79544030} λ = 2.79544030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90357428391243))-π/2
    2×atan(6.70983448599389)-π/2
    2×1.4228503044345-π/2
    2.845700608869-1.57079632675     		φ = 1.27490428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79544030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.166931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27490428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.046635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123851 KachelY 25826 2.79544030 1.27490428 160.166931 73.046635
    Oben rechts KachelX + 1 123852 KachelY 25826 2.79548824 1.27490428 160.169678 73.046635
    Unten links KachelX 123851 KachelY + 1 25827 2.79544030 1.27489030 160.166931 73.045834
    Unten rechts KachelX + 1 123852 KachelY + 1 25827 2.79548824 1.27489030 160.169678 73.045834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27490428-1.27489030) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dl = 89.0665799990953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27490428-1.27489030) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dr = 89.0665799990953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79544030-2.79548824) × cos(1.27490428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291593246617109 × 6371000     		do = 89.0600831269747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79544030-2.79548824) × cos(1.27489030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29160661905148 × 6371000     		du = 89.0641674126379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27490428)-sin(1.27489030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291593246617109-0.29160661905148)×R²
    abs(2.79548824-2.79544030)×1.33724343703845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33724343703845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33724343703845e-05×40589641000000     		ar = 7932.45890553963m²