Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12385 / 20708
↖ ↑ ↗
← S 42.843751°
W 43.934326°		 ← 895.72 m → S 42.843751°
W 43.923340°		 →
↑
895.70 m
↓
↑
895.70 m
↓
S 42.851806°
W 43.934326°		 ← 895.60 m →
802 242 m²		 S 42.851806°
W 43.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377975463867188 y=0.631973266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377975463867188 × 215)
    floor (0.377975463867188 × 32768)
    floor (12385.5)     		tx = 12385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631973266601562 × 215)
    floor (0.631973266601562 × 32768)
    floor (20708.5)     		ty = 20708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12385 / 20708 ti = "15/12385/20708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12385/20708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12385 ÷ 215
    12385 ÷ 32768     		x = 0.377960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20708 ÷ 215
    20708 ÷ 32768     		y = 0.6319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.263916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829116615828491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76679865} λ = -0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829116615828491))-π/2
    2×atan(0.436434655548547)-π/2
    2×0.41151590113141-π/2
    0.82303180226282-1.57079632675     		φ = -0.74776452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74776452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.843751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12385 KachelY 20708 -0.76679865 -0.74776452 -43.934326 -42.843751
    Oben rechts KachelX + 1 12386 KachelY 20708 -0.76660690 -0.74776452 -43.923340 -42.843751
    Unten links KachelX 12385 KachelY + 1 20709 -0.76679865 -0.74790511 -43.934326 -42.851806
    Unten rechts KachelX + 1 12386 KachelY + 1 20709 -0.76660690 -0.74790511 -43.923340 -42.851806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74776452--0.74790511) × R
    0.000140589999999996 × 6371000     		dl = 895.698889999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74776452--0.74790511) × R
    0.000140589999999996 × 6371000     		dr = 895.698889999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76679865--0.76660690) × cos(-0.74776452) × R
    0.000191750000000046 × 0.733210829160377 × 6371000     		do = 895.719127427576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76679865--0.76660690) × cos(-0.74790511) × R
    0.000191750000000046 × 0.73311522052019 × 6371000     		du = 895.602328160085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74776452)-sin(-0.74790511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733210829160377-0.73311522052019)×R²
    abs(-0.76660690--0.76679865)×9.56086401869838e-05×R²
    0.000191750000000046×9.56086401869838e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.56086401869838e-05×40589641000000     		ar = 802242.32102241m²