Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12385 / 20147
↖ ↑ ↗
← S 38.160477°
W 43.934326°		 ← 960.55 m → S 38.160477°
W 43.923340°		 →
↑
960.43 m
↓
↑
960.43 m
↓
S 38.169114°
W 43.934326°		 ← 960.44 m →
922 489 m²		 S 38.169114°
W 43.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377975463867188 y=0.614852905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377975463867188 × 215)
    floor (0.377975463867188 × 32768)
    floor (12385.5)     		tx = 12385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614852905273438 × 215)
    floor (0.614852905273438 × 32768)
    floor (20147.5)     		ty = 20147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12385 / 20147 ti = "15/12385/20147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12385/20147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12385 ÷ 215
    12385 ÷ 32768     		x = 0.377960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20147 ÷ 215
    20147 ÷ 32768     		y = 0.614837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.22967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.721546213081085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76679865} λ = -0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721546213081085))-π/2
    2×atan(0.486000214812319)-π/2
    2×0.452385185789264-π/2
    0.904770371578527-1.57079632675     		φ = -0.66602596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66602596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.160477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12385 KachelY 20147 -0.76679865 -0.66602596 -43.934326 -38.160477
    Oben rechts KachelX + 1 12386 KachelY 20147 -0.76660690 -0.66602596 -43.923340 -38.160477
    Unten links KachelX 12385 KachelY + 1 20148 -0.76679865 -0.66617671 -43.934326 -38.169114
    Unten rechts KachelX + 1 12386 KachelY + 1 20148 -0.76660690 -0.66617671 -43.923340 -38.169114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66602596--0.66617671) × R
    0.000150749999999977 × 6371000     		dl = 960.428249999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66602596--0.66617671) × R
    0.000150749999999977 × 6371000     		dr = 960.428249999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76679865--0.76660690) × cos(-0.66602596) × R
    0.000191750000000046 × 0.786283293099801 × 6371000     		do = 960.554532470202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76679865--0.76660690) × cos(-0.66617671) × R
    0.000191750000000046 × 0.786190140843228 × 6371000     		du = 960.440734017346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66602596)-sin(-0.66617671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786283293099801-0.786190140843228)×R²
    abs(-0.76660690--0.76679865)×9.31522565731369e-05×R²
    0.000191750000000046×9.31522565731369e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.31522565731369e-05×40589641000000     		ar = 922489.062772016m²