Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12385 / 13535
↖ ↑ ↗
← N 29.850173°
W 43.934326°		 ← 1 059.56 m → N 29.850173°
W 43.923340°		 →
↑
1 059.56 m
↓
↑
1 059.56 m
↓
N 29.840644°
W 43.934326°		 ← 1 059.67 m →
1 122 727 m²		 N 29.840644°
W 43.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377975463867188 y=0.413070678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377975463867188 × 215)
    floor (0.377975463867188 × 32768)
    floor (12385.5)     		tx = 12385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413070678710938 × 215)
    floor (0.413070678710938 × 32768)
    floor (13535.5)     		ty = 13535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12385 / 13535 ti = "15/12385/13535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12385/13535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12385 ÷ 215
    12385 ÷ 32768     		x = 0.377960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13535 ÷ 215
    13535 ÷ 32768     		y = 0.413055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413055419921875 × 2 - 1) × π
    0.17388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.54628890807016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76679865} λ = -0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54628890807016))-π/2
    2×atan(1.72683267718618)-π/2
    2×1.04589006505748-π/2
    2.09178013011497-1.57079632675     		φ = 0.52098380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52098380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.850173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12385 KachelY 13535 -0.76679865 0.52098380 -43.934326 29.850173
    Oben rechts KachelX + 1 12386 KachelY 13535 -0.76660690 0.52098380 -43.923340 29.850173
    Unten links KachelX 12385 KachelY + 1 13536 -0.76679865 0.52081749 -43.934326 29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 12386 KachelY + 1 13536 -0.76660690 0.52081749 -43.923340 29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52098380-0.52081749) × R
    0.000166310000000003 × 6371000     		dl = 1059.56101000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52098380-0.52081749) × R
    0.000166310000000003 × 6371000     		dr = 1059.56101000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76679865--0.76660690) × cos(0.52098380) × R
    0.000191750000000046 × 0.867329929112132 × 6371000     		do = 1059.56428410335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76679865--0.76660690) × cos(0.52081749) × R
    0.000191750000000046 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 1059.66539440685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52098380)-sin(0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867329929112132-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.76660690--0.76679865)×8.27660894940907e-05×R²
    0.000191750000000046×8.27660894940907e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.27660894940907e-05×40589641000000     		ar = 1122726.57187977m²