Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123844 / 25743
↖ ↑ ↗
← N 73.112982°
E160.147705°		 ← 88.72 m → N 73.112982°
E160.150452°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.112184°
E160.147705°		 ← 88.73 m →
7 874 m²		 N 73.112184°
E160.150452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944858551025391 y=0.196407318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944858551025391 × 217)
    floor (0.944858551025391 × 131072)
    floor (123844.5)     		tx = 123844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196407318115234 × 217)
    floor (0.196407318115234 × 131072)
    floor (25743.5)     		ty = 25743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123844 / 25743 ti = "17/123844/25743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123844/25743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123844 ÷ 217
    123844 ÷ 131072     		x = 0.944854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25743 ÷ 217
    25743 ÷ 131072     		y = 0.196403503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944854736328125 × 2 - 1) × π
    0.88970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79510474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196403503417969 × 2 - 1) × π
    0.607192993164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.90755304658089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79510474} λ = 2.79510474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90755304658089))-π/2
    2×atan(6.7365845056592)-π/2
    2×1.42342929199252-π/2
    2.84685858398504-1.57079632675     		φ = 1.27606226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79510474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27606226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.112982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123844 KachelY 25743 2.79510474 1.27606226 160.147705 73.112982
    Oben rechts KachelX + 1 123845 KachelY 25743 2.79515268 1.27606226 160.150452 73.112982
    Unten links KachelX 123844 KachelY + 1 25744 2.79510474 1.27604833 160.147705 73.112184
    Unten rechts KachelX + 1 123845 KachelY + 1 25744 2.79515268 1.27604833 160.150452 73.112184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27606226-1.27604833) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27606226-1.27604833) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79510474-2.79515268) × cos(1.27606226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290485394385655 × 6371000     		do = 88.7217165393725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79510474-2.79515268) × cos(1.27604833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290498723687874 × 6371000     		du = 88.7257876513661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27606226)-sin(1.27604833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290485394385655-0.290498723687874)×R²
    abs(2.79515268-2.79510474)×1.33293022182013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33293022182013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33293022182013e-05×40589641000000     		ar = 7874.058212832m²