Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123842 / 25726
↖ ↑ ↗
← N 73.126540°
E160.142212°		 ← 88.65 m → N 73.126540°
E160.144959°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.125743°
E160.142212°		 ← 88.66 m →
7 857 m²		 N 73.125743°
E160.144959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944843292236328 y=0.196277618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944843292236328 × 217)
    floor (0.944843292236328 × 131072)
    floor (123842.5)     		tx = 123842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196277618408203 × 217)
    floor (0.196277618408203 × 131072)
    floor (25726.5)     		ty = 25726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123842 / 25726 ti = "17/123842/25726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123842/25726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123842 ÷ 217
    123842 ÷ 131072     		x = 0.944839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25726 ÷ 217
    25726 ÷ 131072     		y = 0.196273803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944839477539062 × 2 - 1) × π
    0.889678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79500887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196273803710938 × 2 - 1) × π
    0.607452392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90836797387444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79500887} λ = 2.79500887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90836797387444))-π/2
    2×atan(6.74207656975063)-π/2
    2×1.42354760809396-π/2
    2.84709521618791-1.57079632675     		φ = 1.27629889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79500887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27629889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.126540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123842 KachelY 25726 2.79500887 1.27629889 160.142212 73.126540
    Oben rechts KachelX + 1 123843 KachelY 25726 2.79505681 1.27629889 160.144959 73.126540
    Unten links KachelX 123842 KachelY + 1 25727 2.79500887 1.27628498 160.142212 73.125743
    Unten rechts KachelX + 1 123843 KachelY + 1 25727 2.79505681 1.27628498 160.144959 73.125743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27629889-1.27628498) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27629889-1.27628498) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79500887-2.79505681) × cos(1.27629889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290258959876541 × 6371000     		do = 88.6525576118647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79500887-2.79505681) × cos(1.27628498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29027227099704 × 6371000     		du = 88.6566231706935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27629889)-sin(1.27628498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290258959876541-0.29027227099704)×R²
    abs(2.79505681-2.79500887)×1.33111204994041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33111204994041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33111204994041e-05×40589641000000     		ar = 7856.62387990594m²