Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123840 / 25920
↖ ↑ ↗
← N 72.971189°
E160.136719°		 ← 89.43 m → N 72.971189°
E160.139465°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.970385°
E160.136719°		 ← 89.43 m →
7 999 m²		 N 72.970385°
E160.139465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944828033447266 y=0.197757720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944828033447266 × 217)
    floor (0.944828033447266 × 131072)
    floor (123840.5)     		tx = 123840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197757720947266 × 217)
    floor (0.197757720947266 × 131072)
    floor (25920.5)     		ty = 25920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123840 / 25920 ti = "17/123840/25920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123840/25920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123840 ÷ 217
    123840 ÷ 131072     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25920 ÷ 217
    25920 ÷ 131072     		y = 0.19775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19775390625 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89906821534814))-π/2
    2×atan(6.67966752997521)-π/2
    2×1.4221919171614-π/2
    2.8443838343228-1.57079632675     		φ = 1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123840 KachelY 25920 2.79491300 1.27358751 160.136719 72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 123841 KachelY 25920 2.79496093 1.27358751 160.139465 72.971189
    Unten links KachelX 123840 KachelY + 1 25921 2.79491300 1.27357347 160.136719 72.970385
    Unten rechts KachelX + 1 123841 KachelY + 1 25921 2.79496093 1.27357347 160.139465 72.970385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27358751-1.27357347) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27358751-1.27357347) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79496093) × cos(1.27358751) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 89.4260460449132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79496093) × cos(1.27357347) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.292865964229666 × 6371000     		du = 89.4301453543044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27358751)-sin(1.27357347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.292865964229666)×R²
    abs(2.79496093-2.79491300)×1.34244240885817e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.34244240885817e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.34244240885817e-05×40589641000000     		ar = 7999.23942380369m²