Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123840 / 25729
↖ ↑ ↗
← N 73.124148°
E160.136719°		 ← 88.65 m → N 73.124148°
E160.139465°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.123351°
E160.136719°		 ← 88.65 m →
7 856 m²		 N 73.123351°
E160.139465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944828033447266 y=0.196300506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944828033447266 × 217)
    floor (0.944828033447266 × 131072)
    floor (123840.5)     		tx = 123840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196300506591797 × 217)
    floor (0.196300506591797 × 131072)
    floor (25729.5)     		ty = 25729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123840 / 25729 ti = "17/123840/25729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123840/25729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123840 ÷ 217
    123840 ÷ 131072     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25729 ÷ 217
    25729 ÷ 131072     		y = 0.196296691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196296691894531 × 2 - 1) × π
    0.607406616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.90822416317558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90822416317558))-π/2
    2×atan(6.74110705672221)-π/2
    2×1.42352673548578-π/2
    2.84705347097156-1.57079632675     		φ = 1.27625714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27625714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.124148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123840 KachelY 25729 2.79491300 1.27625714 160.136719 73.124148
    Oben rechts KachelX + 1 123841 KachelY 25729 2.79496093 1.27625714 160.139465 73.124148
    Unten links KachelX 123840 KachelY + 1 25730 2.79491300 1.27624323 160.136719 73.123351
    Unten rechts KachelX + 1 123841 KachelY + 1 25730 2.79496093 1.27624323 160.139465 73.123351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27625714-1.27624323) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27625714-1.27624323) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79496093) × cos(1.27625714) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.290298912208264 × 6371000     		do = 88.6462651379403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79496093) × cos(1.27624323) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.290312223160183 × 6371000     		du = 88.6503297972393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27625714)-sin(1.27624323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290298912208264-0.290312223160183)×R²
    abs(2.79496093-2.79491300)×1.3310951918255e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.3310951918255e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.3310951918255e-05×40589641000000     		ar = 7856.06619722617m²