Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12384 / 13088
↖ ↑ ↗
← S 72.607120°
E 92.109375°		 ← 730.33 m → S 72.607120°
E 92.131348°		 →
↑
730.24 m
↓
↑
730.24 m
↓
S 72.613688°
E 92.109375°		 ← 730.06 m →
533 222 m²		 S 72.613688°
E 92.131348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755889892578125 y=0.798858642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755889892578125 × 214)
    floor (0.755889892578125 × 16384)
    floor (12384.5)     		tx = 12384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798858642578125 × 214)
    floor (0.798858642578125 × 16384)
    floor (13088.5)     		ty = 13088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12384 / 13088 ti = "14/12384/13088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12384/13088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12384 ÷ 214
    12384 ÷ 16384     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13088 ÷ 214
    13088 ÷ 16384     		y = 0.798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798828125 × 2 - 1) × π
    -0.59765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87759248431836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87759248431836))-π/2
    2×atan(0.15295791140063)-π/2
    2×0.151781507717093-π/2
    0.303563015434187-1.57079632675     		φ = -1.26723331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26723331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.607120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12384 KachelY 13088 1.60761187 -1.26723331 92.109375 -72.607120
    Oben rechts KachelX + 1 12385 KachelY 13088 1.60799536 -1.26723331 92.131348 -72.607120
    Unten links KachelX 12384 KachelY + 1 13089 1.60761187 -1.26734793 92.109375 -72.613688
    Unten rechts KachelX + 1 12385 KachelY + 1 13089 1.60799536 -1.26734793 92.131348 -72.613688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26723331--1.26734793) × R
    0.000114619999999954 × 6371000     		dl = 730.244019999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26723331--1.26734793) × R
    0.000114619999999954 × 6371000     		dr = 730.244019999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.60799536) × cos(-1.26723331) × R
    0.000383490000000153 × 0.298922203589153 × 6371000     		do = 730.3311488687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.60799536) × cos(-1.26734793) × R
    0.000383490000000153 × 0.29881282234061 × 6371000     		du = 730.063906984513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26723331)-sin(-1.26734793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298922203589153-0.29881282234061)×R²
    abs(1.60799536-1.60761187)×0.000109381248542206×R²
    0.000383490000000153×0.000109381248542206×6371000²
    0.000383490000000153×0.000109381248542206×40589641000000     		ar = 533222.378769926m²