Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123839 / 25921
↖ ↑ ↗
← N 72.970385°
E160.133972°		 ← 89.45 m → N 72.970385°
E160.136719°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.969580°
E160.133972°		 ← 89.45 m →
8 001 m²		 N 72.969580°
E160.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944820404052734 y=0.197765350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944820404052734 × 217)
    floor (0.944820404052734 × 131072)
    floor (123839.5)     		tx = 123839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197765350341797 × 217)
    floor (0.197765350341797 × 131072)
    floor (25921.5)     		ty = 25921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123839 / 25921 ti = "17/123839/25921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123839/25921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123839 ÷ 217
    123839 ÷ 131072     		x = 0.944816589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25921 ÷ 217
    25921 ÷ 131072     		y = 0.197761535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944816589355469 × 2 - 1) × π
    0.889633178710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.79486506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197761535644531 × 2 - 1) × π
    0.604476928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.89902027844852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79486506} λ = 2.79486506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89902027844852))-π/2
    2×atan(6.67934733509797)-π/2
    2×1.42218489777908-π/2
    2.84436979555816-1.57079632675     		φ = 1.27357347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79486506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.133972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27357347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.970385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123839 KachelY 25921 2.79486506 1.27357347 160.133972 72.970385
    Oben rechts KachelX + 1 123840 KachelY 25921 2.79491300 1.27357347 160.136719 72.970385
    Unten links KachelX 123839 KachelY + 1 25922 2.79486506 1.27355943 160.133972 72.969580
    Unten rechts KachelX + 1 123840 KachelY + 1 25922 2.79491300 1.27355943 160.136719 72.969580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27357347-1.27355943) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27357347-1.27355943) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79486506-2.79491300) × cos(1.27357347) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.292865964229666 × 6371000     		do = 89.4488038464293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79486506-2.79491300) × cos(1.27355943) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.292879388596025 × 6371000     		du = 89.4529039934584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27357347)-sin(1.27355943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292865964229666-0.292879388596025)×R²
    abs(2.79491300-2.79486506)×1.34243663585387e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.34243663585387e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.34243663585387e-05×40589641000000     		ar = 8001.27512032434m²