Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123838 / 25538
↖ ↑ ↗
← N 73.275772°
E160.131225°		 ← 87.89 m → N 73.275772°
E160.133972°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
N 73.274982°
E160.131225°		 ← 87.90 m →
7 722 m²		 N 73.274982°
E160.133972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944812774658203 y=0.194843292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944812774658203 × 217)
    floor (0.944812774658203 × 131072)
    floor (123838.5)     		tx = 123838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194843292236328 × 217)
    floor (0.194843292236328 × 131072)
    floor (25538.5)     		ty = 25538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123838 / 25538 ti = "17/123838/25538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123838/25538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123838 ÷ 217
    123838 ÷ 131072     		x = 0.944808959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25538 ÷ 217
    25538 ÷ 131072     		y = 0.194839477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944808959960938 × 2 - 1) × π
    0.889617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79481712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194839477539062 × 2 - 1) × π
    0.610321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91738011100301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79481712} λ = 2.79481712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91738011100301))-π/2
    2×atan(6.80311170372854)-π/2
    2×1.42484990969675-π/2
    2.84969981939349-1.57079632675     		φ = 1.27890349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79481712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.131225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27890349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.275772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123838 KachelY 25538 2.79481712 1.27890349 160.131225 73.275772
    Oben rechts KachelX + 1 123839 KachelY 25538 2.79486506 1.27890349 160.133972 73.275772
    Unten links KachelX 123838 KachelY + 1 25539 2.79481712 1.27888970 160.131225 73.274982
    Unten rechts KachelX + 1 123839 KachelY + 1 25539 2.79486506 1.27888970 160.133972 73.274982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27890349-1.27888970) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dl = 87.8560900007934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27890349-1.27888970) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dr = 87.8560900007934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79481712-2.79486506) × cos(1.27890349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287765511028687 × 6371000     		do = 87.8909941523572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79481712-2.79486506) × cos(1.27888970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287778717696713 × 6371000     		du = 87.8950278087121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27890349)-sin(1.27888970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287765511028687-0.287778717696713)×R²
    abs(2.79486506-2.79481712)×1.32066680263443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32066680263443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32066680263443e-05×40589641000000     		ar = 7721.93628334116m²