Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123831 / 25545
↖ ↑ ↗
← N 73.270239°
E160.111999°		 ← 87.92 m → N 73.270239°
E160.114746°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 73.269449°
E160.111999°		 ← 87.92 m →
7 730 m²		 N 73.269449°
E160.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944759368896484 y=0.194896697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944759368896484 × 217)
    floor (0.944759368896484 × 131072)
    floor (123831.5)     		tx = 123831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194896697998047 × 217)
    floor (0.194896697998047 × 131072)
    floor (25545.5)     		ty = 25545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123831 / 25545 ti = "17/123831/25545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123831/25545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123831 ÷ 217
    123831 ÷ 131072     		x = 0.944755554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25545 ÷ 217
    25545 ÷ 131072     		y = 0.194892883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944755554199219 × 2 - 1) × π
    0.889511108398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.79448156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194892883300781 × 2 - 1) × π
    0.610214233398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.91704455270567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79448156} λ = 2.79448156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91704455270567))-π/2
    2×atan(6.80082924611884)-π/2
    2×1.42480162088604-π/2
    2.84960324177208-1.57079632675     		φ = 1.27880692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79448156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.111999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27880692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.270239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123831 KachelY 25545 2.79448156 1.27880692 160.111999 73.270239
    Oben rechts KachelX + 1 123832 KachelY 25545 2.79452950 1.27880692 160.114746 73.270239
    Unten links KachelX 123831 KachelY + 1 25546 2.79448156 1.27879312 160.111999 73.269449
    Unten rechts KachelX + 1 123832 KachelY + 1 25546 2.79452950 1.27879312 160.114746 73.269449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27880692-1.27879312) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dl = 87.9198000004062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27880692-1.27879312) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dr = 87.9198000004062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79448156-2.79452950) × cos(1.27880692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287857994862478 × 6371000     		do = 87.9192410957309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79448156-2.79452950) × cos(1.27879312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287871210723908 × 6371000     		du = 87.9232775599878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27880692)-sin(1.27879312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287857994862478-0.287871210723908)×R²
    abs(2.79452950-2.79448156)×1.32158614298272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32158614298272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32158614298272e-05×40589641000000     		ar = 7730.01953600838m²