Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123821 / 24929
↖ ↑ ↗
← N 73.750437°
E160.084533°		 ← 85.46 m → N 73.750437°
E160.087280°		 →
↑
85.50 m
↓
↑
85.50 m
↓
N 73.749668°
E160.084533°		 ← 85.47 m →
7 307 m²		 N 73.749668°
E160.087280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944683074951172 y=0.190196990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944683074951172 × 217)
    floor (0.944683074951172 × 131072)
    floor (123821.5)     		tx = 123821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190196990966797 × 217)
    floor (0.190196990966797 × 131072)
    floor (24929.5)     		ty = 24929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123821 / 24929 ti = "17/123821/24929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123821/24929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123821 ÷ 217
    123821 ÷ 131072     		x = 0.944679260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24929 ÷ 217
    24929 ÷ 131072     		y = 0.190193176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944679260253906 × 2 - 1) × π
    0.889358520507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.79400219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190193176269531 × 2 - 1) × π
    0.619613647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.94657368287162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79400219} λ = 2.79400219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94657368287162))-π/2
    2×atan(7.00464627802497)-π/2
    2×1.42899213734414-π/2
    2.85798427468828-1.57079632675     		φ = 1.28718795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79400219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.084533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28718795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.750437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123821 KachelY 24929 2.79400219 1.28718795 160.084533 73.750437
    Oben rechts KachelX + 1 123822 KachelY 24929 2.79405013 1.28718795 160.087280 73.750437
    Unten links KachelX 123821 KachelY + 1 24930 2.79400219 1.28717453 160.084533 73.749668
    Unten rechts KachelX + 1 123822 KachelY + 1 24930 2.79405013 1.28717453 160.087280 73.749668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28718795-1.28717453) × R
    1.34200000001528e-05 × 6371000     		dl = 85.4988200009732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28718795-1.28717453) × R
    1.34200000001528e-05 × 6371000     		dr = 85.4988200009732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79400219-2.79405013) × cos(1.28718795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279821692054617 × 6371000     		do = 85.4647473637775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79400219-2.79405013) × cos(1.28717453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279834575927105 × 6371000     		du = 85.4686824300662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28718795)-sin(1.28717453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279821692054617-0.279834575927105)×R²
    abs(2.79405013-2.79400219)×1.28838724882119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28838724882119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28838724882119e-05×40589641000000     		ar = 7307.30327309965m²