Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123816 / 24940
N 73.741981°
E160.070801°
← 85.51 m → N 73.741981°
E160.073548°

85.50 m

85.50 m
N 73.741212°
E160.070801°
← 85.51 m →
7 311 m²
N 73.741212°
E160.073548°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944644927978516 y=0.190280914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944644927978516 × 217)
    floor (0.944644927978516 × 131072)
    floor (123816.5)
    tx = 123816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190280914306641 × 217)
    floor (0.190280914306641 × 131072)
    floor (24940.5)
    ty = 24940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123816 / 24940 ti = "17/123816/24940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123816/24940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123816 ÷ 217
    123816 ÷ 131072
    x = 0.94464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24940 ÷ 217
    24940 ÷ 131072
    y = 0.190277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.94464111328125 × 2 - 1) × π
    0.8892822265625 × 3.1415926535
    Λ = 2.79376251
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.190277099609375 × 2 - 1) × π
    0.61944580078125 × 3.1415926535
    Φ = 1.9460463769758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79376251} λ = 2.79376251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9460463769758))-π/2
    2×atan(7.00095366039952)-π/2
    2×1.42891834285255-π/2
    2.8578366857051-1.57079632675
    φ = 1.28704036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79376251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28704036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.741981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123816 KachelY 24940 2.79376251 1.28704036 160.070801 73.741981
    Oben rechts KachelX + 1 123817 KachelY 24940 2.79381045 1.28704036 160.073548 73.741981
    Unten links KachelX 123816 KachelY + 1 24941 2.79376251 1.28702694 160.070801 73.741212
    Unten rechts KachelX + 1 123817 KachelY + 1 24941 2.79381045 1.28702694 160.073548 73.741212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.28704036-1.28702694) × R
    1.34199999999307e-05 × 6371000
    dl = 85.4988199995585m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.28704036-1.28702694) × R
    1.34199999999307e-05 × 6371000
    dr = 85.4988199995585m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.79376251-2.79381045) × cos(1.28704036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279963383079437 × 6371000
    do = 85.5080234498844m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.79376251-2.79381045) × cos(1.28702694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279976266397541 × 6371000
    du = 85.5119583468499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.28704036)-sin(1.28702694))×
    abs(λ12)×abs(0.279963383079437-0.279976266397541)×
    abs(2.79381045-2.79376251)×1.28833181038956e-05×
    4.79399999999686e-05×1.28833181038956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28833181038956e-05×40589641000000
    ar = 7311.00332019898m²