Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123814 / 24938
↖ ↑ ↗
← N 73.743519°
E160.065308°		 ← 85.48 m → N 73.743519°
E160.068054°		 →
↑
85.50 m
↓
↑
85.50 m
↓
N 73.742750°
E160.065308°		 ← 85.49 m →
7 309 m²		 N 73.742750°
E160.068054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944629669189453 y=0.190265655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944629669189453 × 217)
    floor (0.944629669189453 × 131072)
    floor (123814.5)     		tx = 123814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190265655517578 × 217)
    floor (0.190265655517578 × 131072)
    floor (24938.5)     		ty = 24938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123814 / 24938 ti = "17/123814/24938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123814/24938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123814 ÷ 217
    123814 ÷ 131072     		x = 0.944625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24938 ÷ 217
    24938 ÷ 131072     		y = 0.190261840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944625854492188 × 2 - 1) × π
    0.889251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79366664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190261840820312 × 2 - 1) × π
    0.619476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94614225077504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79366664} λ = 2.79366664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94614225077504))-π/2
    2×atan(7.0016249006019)-π/2
    2×1.4289317628116-π/2
    2.85786352562319-1.57079632675     		φ = 1.28706720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79366664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.065308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28706720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.743519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123814 KachelY 24938 2.79366664 1.28706720 160.065308 73.743519
    Oben rechts KachelX + 1 123815 KachelY 24938 2.79371457 1.28706720 160.068054 73.743519
    Unten links KachelX 123814 KachelY + 1 24939 2.79366664 1.28705378 160.065308 73.742750
    Unten rechts KachelX + 1 123815 KachelY + 1 24939 2.79371457 1.28705378 160.068054 73.742750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28706720-1.28705378) × R
    1.34200000001528e-05 × 6371000     		dl = 85.4988200009732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28706720-1.28705378) × R
    1.34200000001528e-05 × 6371000     		dr = 85.4988200009732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79366664-2.79371457) × cos(1.28706720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.27993761629197 × 6371000     		do = 85.4823187843293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79366664-2.79371457) × cos(1.28705378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.279950499710912 × 6371000     		du = 85.486252891291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28706720)-sin(1.28705378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27993761629197-0.279950499710912)×R²
    abs(2.79371457-2.79366664)×1.28834189425664e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.28834189425664e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.28834189425664e-05×40589641000000     		ar = 7308.80556783776m²