Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123813 / 24940
↖ ↑ ↗
← N 73.741981°
E160.062561°		 ← 85.51 m → N 73.741981°
E160.065308°		 →
↑
85.50 m
↓
↑
85.50 m
↓
N 73.741212°
E160.062561°		 ← 85.51 m →
7 311 m²		 N 73.741212°
E160.065308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944622039794922 y=0.190280914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944622039794922 × 217)
    floor (0.944622039794922 × 131072)
    floor (123813.5)     		tx = 123813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190280914306641 × 217)
    floor (0.190280914306641 × 131072)
    floor (24940.5)     		ty = 24940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123813 / 24940 ti = "17/123813/24940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123813/24940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123813 ÷ 217
    123813 ÷ 131072     		x = 0.944618225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24940 ÷ 217
    24940 ÷ 131072     		y = 0.190277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944618225097656 × 2 - 1) × π
    0.889236450195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.79361870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190277099609375 × 2 - 1) × π
    0.61944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9460463769758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79361870} λ = 2.79361870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9460463769758))-π/2
    2×atan(7.00095366039952)-π/2
    2×1.42891834285255-π/2
    2.8578366857051-1.57079632675     		φ = 1.28704036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79361870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.062561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28704036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.741981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123813 KachelY 24940 2.79361870 1.28704036 160.062561 73.741981
    Oben rechts KachelX + 1 123814 KachelY 24940 2.79366664 1.28704036 160.065308 73.741981
    Unten links KachelX 123813 KachelY + 1 24941 2.79361870 1.28702694 160.062561 73.741212
    Unten rechts KachelX + 1 123814 KachelY + 1 24941 2.79366664 1.28702694 160.065308 73.741212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28704036-1.28702694) × R
    1.34199999999307e-05 × 6371000     		dl = 85.4988199995585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28704036-1.28702694) × R
    1.34199999999307e-05 × 6371000     		dr = 85.4988199995585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79361870-2.79366664) × cos(1.28704036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279963383079437 × 6371000     		do = 85.5080234498844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79361870-2.79366664) × cos(1.28702694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279976266397541 × 6371000     		du = 85.5119583468499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28704036)-sin(1.28702694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279963383079437-0.279976266397541)×R²
    abs(2.79366664-2.79361870)×1.28833181038956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28833181038956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28833181038956e-05×40589641000000     		ar = 7311.00332019898m²