Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12381 / 20142
↖ ↑ ↗
← S 38.117272°
W 43.978272°		 ← 961.12 m → S 38.117272°
W 43.967285°		 →
↑
961.07 m
↓
↑
961.07 m
↓
S 38.125915°
W 43.978272°		 ← 961.01 m →
923 648 m²		 S 38.125915°
W 43.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377853393554688 y=0.614700317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377853393554688 × 215)
    floor (0.377853393554688 × 32768)
    floor (12381.5)     		tx = 12381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614700317382812 × 215)
    floor (0.614700317382812 × 32768)
    floor (20142.5)     		ty = 20142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12381 / 20142 ti = "15/12381/20142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12381/20142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12381 ÷ 215
    12381 ÷ 32768     		x = 0.377838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20142 ÷ 215
    20142 ÷ 32768     		y = 0.61468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.24432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76756564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.720587475088684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76756564} λ = -0.76756564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720587475088684))-π/2
    2×atan(0.486466385114456)-π/2
    2×0.452762217248276-π/2
    0.905524434496552-1.57079632675     		φ = -0.66527189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76756564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.978272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66527189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.117272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12381 KachelY 20142 -0.76756564 -0.66527189 -43.978272 -38.117272
    Oben rechts KachelX + 1 12382 KachelY 20142 -0.76737389 -0.66527189 -43.967285 -38.117272
    Unten links KachelX 12381 KachelY + 1 20143 -0.76756564 -0.66542274 -43.978272 -38.125915
    Unten rechts KachelX + 1 12382 KachelY + 1 20143 -0.76737389 -0.66542274 -43.967285 -38.125915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66527189--0.66542274) × R
    0.000150850000000036 × 6371000     		dl = 961.065350000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66527189--0.66542274) × R
    0.000150850000000036 × 6371000     		dr = 961.065350000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76756564--0.76737389) × cos(-0.66527189) × R
    0.000191750000000046 × 0.786748983836813 × 6371000     		do = 961.123438552897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76756564--0.76737389) × cos(-0.66542274) × R
    0.000191750000000046 × 0.786655859243832 × 6371000     		du = 961.009673894971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66527189)-sin(-0.66542274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786748983836813-0.786655859243832)×R²
    abs(-0.76737389--0.76756564)×9.31245929809421e-05×R²
    0.000191750000000046×9.31245929809421e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.31245929809421e-05×40589641000000     		ar = 923647.767982695m²