Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123809 / 24993
↖ ↑ ↗
← N 73.701177°
E160.051575°		 ← 85.72 m → N 73.701177°
E160.054321°		 →
↑
85.69 m
↓
↑
85.69 m
↓
N 73.700406°
E160.051575°		 ← 85.72 m →
7 345 m²		 N 73.700406°
E160.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944591522216797 y=0.190685272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944591522216797 × 217)
    floor (0.944591522216797 × 131072)
    floor (123809.5)     		tx = 123809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190685272216797 × 217)
    floor (0.190685272216797 × 131072)
    floor (24993.5)     		ty = 24993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123809 / 24993 ti = "17/123809/24993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123809/24993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123809 ÷ 217
    123809 ÷ 131072     		x = 0.944587707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24993 ÷ 217
    24993 ÷ 131072     		y = 0.190681457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944587707519531 × 2 - 1) × π
    0.889175415039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.79342695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190681457519531 × 2 - 1) × π
    0.618637084960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.94350572129594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79342695} λ = 2.79342695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94350572129594))-π/2
    2×atan(6.98318922393165)-π/2
    2×1.42856226352929-π/2
    2.85712452705859-1.57079632675     		φ = 1.28632820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79342695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.051575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28632820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.701177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123809 KachelY 24993 2.79342695 1.28632820 160.051575 73.701177
    Oben rechts KachelX + 1 123810 KachelY 24993 2.79347489 1.28632820 160.054321 73.701177
    Unten links KachelX 123809 KachelY + 1 24994 2.79342695 1.28631475 160.051575 73.700406
    Unten rechts KachelX + 1 123810 KachelY + 1 24994 2.79347489 1.28631475 160.054321 73.700406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28632820-1.28631475) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dl = 85.6899499998116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28632820-1.28631475) × R
    1.34499999999704e-05 × 6371000     		dr = 85.6899499998116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79342695-2.79347489) × cos(1.28632820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280646993232156 × 6371000     		do = 85.7168155866502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79342695-2.79347489) × cos(1.28631475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280659902665488 × 6371000     		du = 85.7207584598785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28632820)-sin(1.28631475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280646993232156-0.280659902665488)×R²
    abs(2.79347489-2.79342695)×1.29094333317092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29094333317092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29094333317092e-05×40589641000000     		ar = 7345.23857431989m²