Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123808 / 25696
↖ ↑ ↗
← N 73.150440°
E160.048828°		 ← 88.53 m → N 73.150440°
E160.051575°		 →
↑
88.56 m
↓
↑
88.56 m
↓
N 73.149644°
E160.048828°		 ← 88.53 m →
7 840 m²		 N 73.149644°
E160.051575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944583892822266 y=0.196048736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944583892822266 × 217)
    floor (0.944583892822266 × 131072)
    floor (123808.5)     		tx = 123808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196048736572266 × 217)
    floor (0.196048736572266 × 131072)
    floor (25696.5)     		ty = 25696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123808 / 25696 ti = "17/123808/25696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123808/25696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123808 ÷ 217
    123808 ÷ 131072     		x = 0.944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25696 ÷ 217
    25696 ÷ 131072     		y = 0.196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944580078125 × 2 - 1) × π
    0.88916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79337901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196044921875 × 2 - 1) × π
    0.60791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79337901} λ = 2.79337901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90980608086304))-π/2
    2×atan(6.75177937234514)-π/2
    2×1.42375617625964-π/2
    2.84751235251929-1.57079632675     		φ = 1.27671603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79337901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27671603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.150440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123808 KachelY 25696 2.79337901 1.27671603 160.048828 73.150440
    Oben rechts KachelX + 1 123809 KachelY 25696 2.79342695 1.27671603 160.051575 73.150440
    Unten links KachelX 123808 KachelY + 1 25697 2.79337901 1.27670213 160.048828 73.149644
    Unten rechts KachelX + 1 123809 KachelY + 1 25697 2.79342695 1.27670213 160.051575 73.149644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27671603-1.27670213) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dl = 88.5568999993636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27671603-1.27670213) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dr = 88.5568999993636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79337901-2.79342695) × cos(1.27671603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289859753289033 × 6371000     		do = 88.5306296444624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79337901-2.79342695) × cos(1.27670213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289873056521966 × 6371000     		du = 88.5346927942252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27671603)-sin(1.27670213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289859753289033-0.289873056521966)×R²
    abs(2.79342695-2.79337901)×1.33032329323046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33032329323046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33032329323046e-05×40589641000000     		ar = 7840.17802639454m²