Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123803 / 25017
↖ ↑ ↗
← N 73.682667°
E160.035095°		 ← 85.81 m → N 73.682667°
E160.037842°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.681895°
E160.035095°		 ← 85.82 m →
7 364 m²		 N 73.681895°
E160.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944545745849609 y=0.190868377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944545745849609 × 217)
    floor (0.944545745849609 × 131072)
    floor (123803.5)     		tx = 123803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190868377685547 × 217)
    floor (0.190868377685547 × 131072)
    floor (25017.5)     		ty = 25017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123803 / 25017 ti = "17/123803/25017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123803/25017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123803 ÷ 217
    123803 ÷ 131072     		x = 0.944541931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25017 ÷ 217
    25017 ÷ 131072     		y = 0.190864562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944541931152344 × 2 - 1) × π
    0.889083862304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.79313933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190864562988281 × 2 - 1) × π
    0.618270874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.94235523570506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79313933} λ = 2.79313933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94235523570506))-π/2
    2×atan(6.97515978511361)-π/2
    2×1.42840073420346-π/2
    2.85680146840692-1.57079632675     		φ = 1.28600514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79313933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.035095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28600514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.682667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123803 KachelY 25017 2.79313933 1.28600514 160.035095 73.682667
    Oben rechts KachelX + 1 123804 KachelY 25017 2.79318727 1.28600514 160.037842 73.682667
    Unten links KachelX 123803 KachelY + 1 25018 2.79313933 1.28599167 160.035095 73.681895
    Unten rechts KachelX + 1 123804 KachelY + 1 25018 2.79318727 1.28599167 160.037842 73.681895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28600514-1.28599167) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dl = 85.8173700004519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28600514-1.28599167) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dr = 85.8173700004519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79313933-2.79318727) × cos(1.28600514) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.280957055141596 × 6371000     		do = 85.8115164755815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79313933-2.79318727) × cos(1.28599167) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.280969982549102 × 6371000     		du = 85.8154648385853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28600514)-sin(1.28599167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280957055141596-0.280969982549102)×R²
    abs(2.79318727-2.79313933)×1.29274075060803e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.29274075060803e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.29274075060803e-05×40589641000000     		ar = 7364.28807891741m²