Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123802 / 25018
↖ ↑ ↗
← N 73.681895°
E160.032348°		 ← 85.82 m → N 73.681895°
E160.035095°		 →
↑
85.82 m
↓
↑
85.82 m
↓
N 73.681123°
E160.032348°		 ← 85.82 m →
7 365 m²		 N 73.681123°
E160.035095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944538116455078 y=0.190876007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944538116455078 × 217)
    floor (0.944538116455078 × 131072)
    floor (123802.5)     		tx = 123802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190876007080078 × 217)
    floor (0.190876007080078 × 131072)
    floor (25018.5)     		ty = 25018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123802 / 25018 ti = "17/123802/25018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123802/25018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123802 ÷ 217
    123802 ÷ 131072     		x = 0.944534301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25018 ÷ 217
    25018 ÷ 131072     		y = 0.190872192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944534301757812 × 2 - 1) × π
    0.889068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79309139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190872192382812 × 2 - 1) × π
    0.618255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94230729880544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79309139} λ = 2.79309139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94230729880544))-π/2
    2×atan(6.9748254255933)-π/2
    2×1.42839399994352-π/2
    2.85678799988703-1.57079632675     		φ = 1.28599167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79309139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.032348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28599167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.681895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123802 KachelY 25018 2.79309139 1.28599167 160.032348 73.681895
    Oben rechts KachelX + 1 123803 KachelY 25018 2.79313933 1.28599167 160.035095 73.681895
    Unten links KachelX 123802 KachelY + 1 25019 2.79309139 1.28597820 160.032348 73.681123
    Unten rechts KachelX + 1 123803 KachelY + 1 25019 2.79313933 1.28597820 160.035095 73.681123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28599167-1.28597820) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dl = 85.8173700004519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28599167-1.28597820) × R
    1.34700000000709e-05 × 6371000     		dr = 85.8173700004519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79309139-2.79313933) × cos(1.28599167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280969982549102 × 6371000     		do = 85.8154648377904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79309139-2.79313933) × cos(1.28597820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280982909905629 × 6371000     		du = 85.8194131852238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28599167)-sin(1.28597820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280969982549102-0.280982909905629)×R²
    abs(2.79313933-2.79309139)×1.29273565266375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29273565266375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29273565266375e-05×40589641000000     		ar = 7364.62691627935m²