Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12380 / 20184
↖ ↑ ↗
← S 38.479395°
W 43.989258°		 ← 956.29 m → S 38.479395°
W 43.978272°		 →
↑
956.29 m
↓
↑
956.29 m
↓
S 38.487995°
W 43.989258°		 ← 956.17 m →
914 432 m²		 S 38.487995°
W 43.978272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377822875976562 y=0.615982055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377822875976562 × 215)
    floor (0.377822875976562 × 32768)
    floor (12380.5)     		tx = 12380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615982055664062 × 215)
    floor (0.615982055664062 × 32768)
    floor (20184.5)     		ty = 20184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12380 / 20184 ti = "15/12380/20184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12380/20184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12380 ÷ 215
    12380 ÷ 32768     		x = 0.3778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20184 ÷ 215
    20184 ÷ 32768     		y = 0.615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76775738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.23193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728640874224854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76775738} λ = -0.76775738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728640874224854))-π/2
    2×atan(0.482564410318279)-π/2
    2×0.449602097794079-π/2
    0.899204195588158-1.57079632675     		φ = -0.67159213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76775738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67159213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.479395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12380 KachelY 20184 -0.76775738 -0.67159213 -43.989258 -38.479395
    Oben rechts KachelX + 1 12381 KachelY 20184 -0.76756564 -0.67159213 -43.978272 -38.479395
    Unten links KachelX 12380 KachelY + 1 20185 -0.76775738 -0.67174223 -43.989258 -38.487995
    Unten rechts KachelX + 1 12381 KachelY + 1 20185 -0.76756564 -0.67174223 -43.978272 -38.487995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67159213--0.67174223) × R
    0.000150100000000042 × 6371000     		dl = 956.287100000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67159213--0.67174223) × R
    0.000150100000000042 × 6371000     		dr = 956.287100000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76775738--0.76756564) × cos(-0.67159213) × R
    0.000191739999999996 × 0.782831982433096 × 6371000     		do = 956.288401669959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76775738--0.76756564) × cos(-0.67174223) × R
    0.000191739999999996 × 0.782738576419711 × 6371000     		du = 956.174299168719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67159213)-sin(-0.67174223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782831982433096-0.782738576419711)×R²
    abs(-0.76756564--0.76775738)×9.34060133854775e-05×R²
    0.000191739999999996×9.34060133854775e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.34060133854775e-05×40589641000000     		ar = 914431.706739058m²