Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123796 / 25004
↖ ↑ ↗
← N 73.692696°
E160.015869°		 ← 85.76 m → N 73.692696°
E160.018616°		 →
↑
85.75 m
↓
↑
85.75 m
↓
N 73.691925°
E160.015869°		 ← 85.76 m →
7 354 m²		 N 73.691925°
E160.018616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944492340087891 y=0.190769195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944492340087891 × 217)
    floor (0.944492340087891 × 131072)
    floor (123796.5)     		tx = 123796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190769195556641 × 217)
    floor (0.190769195556641 × 131072)
    floor (25004.5)     		ty = 25004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123796 / 25004 ti = "17/123796/25004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123796/25004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123796 ÷ 217
    123796 ÷ 131072     		x = 0.944488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25004 ÷ 217
    25004 ÷ 131072     		y = 0.190765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944488525390625 × 2 - 1) × π
    0.88897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79280377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190765380859375 × 2 - 1) × π
    0.61846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94297841540012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79280377} λ = 2.79280377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94297841540012))-π/2
    2×atan(6.97950791775477)-π/2
    2×1.42848825139483-π/2
    2.85697650278967-1.57079632675     		φ = 1.28618018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79280377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28618018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.692696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123796 KachelY 25004 2.79280377 1.28618018 160.015869 73.692696
    Oben rechts KachelX + 1 123797 KachelY 25004 2.79285171 1.28618018 160.018616 73.692696
    Unten links KachelX 123796 KachelY + 1 25005 2.79280377 1.28616672 160.015869 73.691925
    Unten rechts KachelX + 1 123797 KachelY + 1 25005 2.79285171 1.28616672 160.018616 73.691925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28618018-1.28616672) × R
    1.34599999999097e-05 × 6371000     		dl = 85.7536599994244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28618018-1.28616672) × R
    1.34599999999097e-05 × 6371000     		dr = 85.7536599994244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79280377-2.79285171) × cos(1.28618018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280789061389822 × 6371000     		do = 85.7602068588356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79280377-2.79285171) × cos(1.28616672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280801979861925 × 6371000     		du = 85.7641524927374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28618018)-sin(1.28616672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280789061389822-0.280801979861925)×R²
    abs(2.79285171-2.79280377)×1.29184721032738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29184721032738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29184721032738e-05×40589641000000     		ar = 7354.4207969057m²