Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123795 / 25003
↖ ↑ ↗
← N 73.693467°
E160.013122°		 ← 85.76 m → N 73.693467°
E160.015869°		 →
↑
85.75 m
↓
↑
85.75 m
↓
N 73.692696°
E160.013122°		 ← 85.76 m →
7 354 m²		 N 73.692696°
E160.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944484710693359 y=0.190761566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944484710693359 × 217)
    floor (0.944484710693359 × 131072)
    floor (123795.5)     		tx = 123795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190761566162109 × 217)
    floor (0.190761566162109 × 131072)
    floor (25003.5)     		ty = 25003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123795 / 25003 ti = "17/123795/25003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123795/25003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123795 ÷ 217
    123795 ÷ 131072     		x = 0.944480895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25003 ÷ 217
    25003 ÷ 131072     		y = 0.190757751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944480895996094 × 2 - 1) × π
    0.888961791992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.79275583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190757751464844 × 2 - 1) × π
    0.618484497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.94302635229974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79275583} λ = 2.79275583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94302635229974))-π/2
    2×atan(6.97984250174461)-π/2
    2×1.42849498131863-π/2
    2.85698996263727-1.57079632675     		φ = 1.28619364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79275583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.013122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28619364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.693467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123795 KachelY 25003 2.79275583 1.28619364 160.013122 73.693467
    Oben rechts KachelX + 1 123796 KachelY 25003 2.79280377 1.28619364 160.015869 73.693467
    Unten links KachelX 123795 KachelY + 1 25004 2.79275583 1.28618018 160.013122 73.692696
    Unten rechts KachelX + 1 123796 KachelY + 1 25004 2.79280377 1.28618018 160.015869 73.692696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28619364-1.28618018) × R
    1.34600000001317e-05 × 6371000     		dl = 85.7536600008391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28619364-1.28618018) × R
    1.34600000001317e-05 × 6371000     		dr = 85.7536600008391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79275583-2.79280377) × cos(1.28619364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280776142866848 × 6371000     		do = 85.7562612093965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79275583-2.79280377) × cos(1.28618018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.280789061389822 × 6371000     		du = 85.7602068588356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28619364)-sin(1.28618018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280776142866848-0.280789061389822)×R²
    abs(2.79280377-2.79275583)×1.29185229744699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29185229744699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29185229744699e-05×40589641000000     		ar = 7354.08244360924m²