Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12378 / 20151
↖ ↑ ↗
← S 38.195021°
W 44.011230°		 ← 960.10 m → S 38.195021°
W 44.000244°		 →
↑
960.05 m
↓
↑
960.05 m
↓
S 38.203655°
W 44.011230°		 ← 959.99 m →
921 685 m²		 S 38.203655°
W 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377761840820312 y=0.614974975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377761840820312 × 215)
    floor (0.377761840820312 × 32768)
    floor (12378.5)     		tx = 12378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614974975585938 × 215)
    floor (0.614974975585938 × 32768)
    floor (20151.5)     		ty = 20151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12378 / 20151 ti = "15/12378/20151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12378/20151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12378 ÷ 215
    12378 ÷ 32768     		x = 0.37774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20151 ÷ 215
    20151 ÷ 32768     		y = 0.614959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76814088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.22991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.722313203475006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76814088} λ = -0.76814088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722313203475006))-π/2
    2×atan(0.485627600230283)-π/2
    2×0.45208372137729-π/2
    0.90416744275458-1.57079632675     		φ = -0.66662888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76814088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66662888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.195021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12378 KachelY 20151 -0.76814088 -0.66662888 -44.011230 -38.195021
    Oben rechts KachelX + 1 12379 KachelY 20151 -0.76794913 -0.66662888 -44.000244 -38.195021
    Unten links KachelX 12378 KachelY + 1 20152 -0.76814088 -0.66677957 -44.011230 -38.203655
    Unten rechts KachelX + 1 12379 KachelY + 1 20152 -0.76794913 -0.66677957 -44.000244 -38.203655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66662888--0.66677957) × R
    0.000150690000000009 × 6371000     		dl = 960.045990000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66662888--0.66677957) × R
    0.000150690000000009 × 6371000     		dr = 960.045990000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76814088--0.76794913) × cos(-0.66662888) × R
    0.000191750000000046 × 0.78591062634951 × 6371000     		do = 960.099268140876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76814088--0.76794913) × cos(-0.66677957) × R
    0.000191750000000046 × 0.785817439756181 × 6371000     		du = 959.985427740891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66662888)-sin(-0.66677957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78591062634951-0.785817439756181)×R²
    abs(-0.76794913--0.76814088)×9.3186593329575e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3186593329575e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3186593329575e-05×40589641000000     		ar = 921684.808114691m²