Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12378 / 20122
↖ ↑ ↗
← S 37.944198°
W 44.011230°		 ← 963.40 m → S 37.944198°
W 44.000244°		 →
↑
963.30 m
↓
↑
963.30 m
↓
S 37.952861°
W 44.011230°		 ← 963.28 m →
927 981 m²		 S 37.952861°
W 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377761840820312 y=0.614089965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377761840820312 × 215)
    floor (0.377761840820312 × 32768)
    floor (12378.5)     		tx = 12378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614089965820312 × 215)
    floor (0.614089965820312 × 32768)
    floor (20122.5)     		ty = 20122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12378 / 20122 ti = "15/12378/20122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12378/20122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12378 ÷ 215
    12378 ÷ 32768     		x = 0.37774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20122 ÷ 215
    20122 ÷ 32768     		y = 0.61407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76814088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.2281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.71675252311908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76814088} λ = -0.76814088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.71675252311908))-π/2
    2×atan(0.488335542109062)-π/2
    2×0.454272574197945-π/2
    0.908545148395891-1.57079632675     		φ = -0.66225118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76814088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66225118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.944198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12378 KachelY 20122 -0.76814088 -0.66225118 -44.011230 -37.944198
    Oben rechts KachelX + 1 12379 KachelY 20122 -0.76794913 -0.66225118 -44.000244 -37.944198
    Unten links KachelX 12378 KachelY + 1 20123 -0.76814088 -0.66240238 -44.011230 -37.952861
    Unten rechts KachelX + 1 12379 KachelY + 1 20123 -0.76794913 -0.66240238 -44.000244 -37.952861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66225118--0.66240238) × R
    0.000151199999999907 × 6371000     		dl = 963.295199999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66225118--0.66240238) × R
    0.000151199999999907 × 6371000     		dr = 963.295199999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76814088--0.76794913) × cos(-0.66225118) × R
    0.000191750000000046 × 0.788609994503366 × 6371000     		do = 963.396922227827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76814088--0.76794913) × cos(-0.66240238) × R
    0.000191750000000046 × 0.788517013560145 × 6371000     		du = 963.283333058087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66225118)-sin(-0.66240238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788609994503366-0.788517013560145)×R²
    abs(-0.76794913--0.76814088)×9.29809432201889e-05×R²
    0.000191750000000046×9.29809432201889e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.29809432201889e-05×40589641000000     		ar = 927980.92269239m²