Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123776 / 25472
↖ ↑ ↗
← N 73.327858°
E159.960937°		 ← 87.63 m → N 73.327858°
E159.963684°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
N 73.327070°
E159.960937°		 ← 87.63 m →
7 682 m²		 N 73.327070°
E159.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944339752197266 y=0.194339752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944339752197266 × 217)
    floor (0.944339752197266 × 131072)
    floor (123776.5)     		tx = 123776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194339752197266 × 217)
    floor (0.194339752197266 × 131072)
    floor (25472.5)     		ty = 25472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123776 / 25472 ti = "17/123776/25472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123776/25472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123776 ÷ 217
    123776 ÷ 131072     		x = 0.9443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25472 ÷ 217
    25472 ÷ 131072     		y = 0.1943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    0.888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79184503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1943359375 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92054394637793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79184503} λ = 2.79184503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92054394637793))-π/2
    2×atan(6.82466971421174)-π/2
    2×1.42530444201577-π/2
    2.85060888403154-1.57079632675     		φ = 1.27981256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79184503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27981256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.327858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123776 KachelY 25472 2.79184503 1.27981256 159.960937 73.327858
    Oben rechts KachelX + 1 123777 KachelY 25472 2.79189297 1.27981256 159.963684 73.327858
    Unten links KachelX 123776 KachelY + 1 25473 2.79184503 1.27979880 159.960937 73.327070
    Unten rechts KachelX + 1 123777 KachelY + 1 25473 2.79189297 1.27979880 159.963684 73.327070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27981256-1.27979880) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dl = 87.6649600005404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27981256-1.27979880) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dr = 87.6649600005404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79184503-2.79189297) × cos(1.27981256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.286894775087066 × 6371000     		do = 87.6250489830432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79184503-2.79189297) × cos(1.27979880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.286907956618423 × 6371000     		du = 87.6290749620123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27981256)-sin(1.27979880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286894775087066-0.286907956618423)×R²
    abs(2.79189297-2.79184503)×1.31815313571537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31815313571537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31815313571537e-05×40589641000000     		ar = 7681.82288290857m²