Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12377 / 20181
↖ ↑ ↗
← S 38.453589°
W 44.022217°		 ← 956.68 m → S 38.453589°
W 44.011230°		 →
↑
956.61 m
↓
↑
956.61 m
↓
S 38.462192°
W 44.022217°		 ← 956.57 m →
915 111 m²		 S 38.462192°
W 44.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377731323242188 y=0.615890502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377731323242188 × 215)
    floor (0.377731323242188 × 32768)
    floor (12377.5)     		tx = 12377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615890502929688 × 215)
    floor (0.615890502929688 × 32768)
    floor (20181.5)     		ty = 20181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12377 / 20181 ti = "15/12377/20181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12377/20181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12377 ÷ 215
    12377 ÷ 32768     		x = 0.377716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20181 ÷ 215
    20181 ÷ 32768     		y = 0.615875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.24456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76833263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.23175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.728065631429413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76833263} λ = -0.76833263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728065631429413))-π/2
    2×atan(0.482842081875275)-π/2
    2×0.449827297316225-π/2
    0.89965459463245-1.57079632675     		φ = -0.67114173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76833263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.022217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67114173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.453589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12377 KachelY 20181 -0.76833263 -0.67114173 -44.022217 -38.453589
    Oben rechts KachelX + 1 12378 KachelY 20181 -0.76814088 -0.67114173 -44.011230 -38.453589
    Unten links KachelX 12377 KachelY + 1 20182 -0.76833263 -0.67129188 -44.022217 -38.462192
    Unten rechts KachelX + 1 12378 KachelY + 1 20182 -0.76814088 -0.67129188 -44.011230 -38.462192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67114173--0.67129188) × R
    0.00015014999999996 × 6371000     		dl = 956.605649999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67114173--0.67129188) × R
    0.00015014999999996 × 6371000     		dr = 956.605649999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76833263--0.76814088) × cos(-0.67114173) × R
    0.000191749999999935 × 0.783112156829616 × 6371000     		do = 956.680547934891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76833263--0.76814088) × cos(-0.67129188) × R
    0.000191749999999935 × 0.783018772646031 × 6371000     		du = 956.566466150894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67114173)-sin(-0.67129188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783112156829616-0.783018772646031)×R²
    abs(-0.76814088--0.76833263)×9.33841835853988e-05×R²
    0.000191749999999935×9.33841835853988e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.33841835853988e-05×40589641000000     		ar = 915111.453479117m²