Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123753 / 25352
↖ ↑ ↗
← N 73.422156°
E159.897766°		 ← 87.13 m → N 73.422156°
E159.900513°		 →
↑
87.16 m
↓
↑
87.16 m
↓
N 73.421372°
E159.897766°		 ← 87.13 m →
7 594 m²		 N 73.421372°
E159.900513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944164276123047 y=0.193424224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944164276123047 × 217)
    floor (0.944164276123047 × 131072)
    floor (123753.5)     		tx = 123753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193424224853516 × 217)
    floor (0.193424224853516 × 131072)
    floor (25352.5)     		ty = 25352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123753 / 25352 ti = "17/123753/25352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123753/25352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123753 ÷ 217
    123753 ÷ 131072     		x = 0.944160461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25352 ÷ 217
    25352 ÷ 131072     		y = 0.19342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944160461425781 × 2 - 1) × π
    0.888320922851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.79074249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19342041015625 × 2 - 1) × π
    0.6131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92629637433234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79074249} λ = 2.79074249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92629637433234))-π/2
    2×atan(6.86404126749883)-π/2
    2×1.42612734298771-π/2
    2.85225468597542-1.57079632675     		φ = 1.28145836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79074249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.897766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28145836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.422156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123753 KachelY 25352 2.79074249 1.28145836 159.897766 73.422156
    Oben rechts KachelX + 1 123754 KachelY 25352 2.79079042 1.28145836 159.900513 73.422156
    Unten links KachelX 123753 KachelY + 1 25353 2.79074249 1.28144468 159.897766 73.421372
    Unten rechts KachelX + 1 123754 KachelY + 1 25353 2.79079042 1.28144468 159.900513 73.421372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28145836-1.28144468) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dl = 87.1552800008086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28145836-1.28144468) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dr = 87.1552800008086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79074249-2.79079042) × cos(1.28145836) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285317773222293 × 6371000     		do = 87.1252144262923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79074249-2.79079042) × cos(1.28144468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285330884558698 × 6371000     		du = 87.1292181305931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28145836)-sin(1.28144468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285317773222293-0.285330884558698)×R²
    abs(2.79079042-2.79074249)×1.31113364053026e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31113364053026e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31113364053026e-05×40589641000000     		ar = 7593.59693054668m²