Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123751 / 25350
↖ ↑ ↗
← N 73.423723°
E159.892273°		 ← 87.14 m → N 73.423723°
E159.895020°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.422939°
E159.892273°		 ← 87.14 m →
7 589 m²		 N 73.422939°
E159.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944149017333984 y=0.193408966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944149017333984 × 217)
    floor (0.944149017333984 × 131072)
    floor (123751.5)     		tx = 123751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193408966064453 × 217)
    floor (0.193408966064453 × 131072)
    floor (25350.5)     		ty = 25350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123751 / 25350 ti = "17/123751/25350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123751/25350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123751 ÷ 217
    123751 ÷ 131072     		x = 0.944145202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25350 ÷ 217
    25350 ÷ 131072     		y = 0.193405151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944145202636719 × 2 - 1) × π
    0.888290405273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.79064661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193405151367188 × 2 - 1) × π
    0.613189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92639224813158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79064661} λ = 2.79064661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92639224813158))-π/2
    2×atan(6.86469938076069)-π/2
    2×1.42614101960883-π/2
    2.85228203921766-1.57079632675     		φ = 1.28148571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79064661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.892273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28148571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.423723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123751 KachelY 25350 2.79064661 1.28148571 159.892273 73.423723
    Oben rechts KachelX + 1 123752 KachelY 25350 2.79069455 1.28148571 159.895020 73.423723
    Unten links KachelX 123751 KachelY + 1 25351 2.79064661 1.28147204 159.892273 73.422939
    Unten rechts KachelX + 1 123752 KachelY + 1 25351 2.79069455 1.28147204 159.895020 73.422939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28148571-1.28147204) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28148571-1.28147204) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79064661-2.79069455) × cos(1.28148571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285291559973708 × 6371000     		do = 87.135385820667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79064661-2.79069455) × cos(1.28147204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285304661832493 × 6371000     		du = 87.1393874655817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28148571)-sin(1.28147204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285291559973708-0.285304661832493)×R²
    abs(2.79069455-2.79064661)×1.31018587850029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31018587850029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31018587850029e-05×40589641000000     		ar = 7588.93180841496m²