Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123750 / 24926
↖ ↑ ↗
← N 73.752743°
E159.889526°		 ← 85.45 m → N 73.752743°
E159.892273°		 →
↑
85.50 m
↓
↑
85.50 m
↓
N 73.751974°
E159.889526°		 ← 85.46 m →
7 306 m²		 N 73.751974°
E159.892273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944141387939453 y=0.190174102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944141387939453 × 217)
    floor (0.944141387939453 × 131072)
    floor (123750.5)     		tx = 123750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190174102783203 × 217)
    floor (0.190174102783203 × 131072)
    floor (24926.5)     		ty = 24926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123750 / 24926 ti = "17/123750/24926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123750/24926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123750 ÷ 217
    123750 ÷ 131072     		x = 0.944137573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24926 ÷ 217
    24926 ÷ 131072     		y = 0.190170288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944137573242188 × 2 - 1) × π
    0.888275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79059867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190170288085938 × 2 - 1) × π
    0.619659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94671749357048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79059867} λ = 2.79059867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94671749357048))-π/2
    2×atan(7.00565369353831)-π/2
    2×1.4290122566319-π/2
    2.8580245132638-1.57079632675     		φ = 1.28722819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79059867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.889526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28722819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.752743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123750 KachelY 24926 2.79059867 1.28722819 159.889526 73.752743
    Oben rechts KachelX + 1 123751 KachelY 24926 2.79064661 1.28722819 159.892273 73.752743
    Unten links KachelX 123750 KachelY + 1 24927 2.79059867 1.28721477 159.889526 73.751974
    Unten rechts KachelX + 1 123751 KachelY + 1 24927 2.79064661 1.28721477 159.892273 73.751974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28722819-1.28721477) × R
    1.34199999999307e-05 × 6371000     		dl = 85.4988199995585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28722819-1.28721477) × R
    1.34199999999307e-05 × 6371000     		dr = 85.4988199995585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79059867-2.79064661) × cos(1.28722819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279783059336058 × 6371000     		do = 85.4529479371233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79059867-2.79064661) × cos(1.28721477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279795943359648 × 6371000     		du = 85.4568830495627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28722819)-sin(1.28721477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279783059336058-0.279795943359648)×R²
    abs(2.79064661-2.79059867)×1.28840235906202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28840235906202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28840235906202e-05×40589641000000     		ar = 7306.2944380335m²