Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12375 / 20183
↖ ↑ ↗
← S 38.470794°
W 44.044189°		 ← 956.45 m → S 38.470794°
W 44.033203°		 →
↑
956.35 m
↓
↑
956.35 m
↓
S 38.479395°
W 44.044189°		 ← 956.34 m →
914 649 m²		 S 38.479395°
W 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377670288085938 y=0.615951538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377670288085938 × 215)
    floor (0.377670288085938 × 32768)
    floor (12375.5)     		tx = 12375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615951538085938 × 215)
    floor (0.615951538085938 × 32768)
    floor (20183.5)     		ty = 20183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12375 / 20183 ti = "15/12375/20183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12375/20183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12375 ÷ 215
    12375 ÷ 32768     		x = 0.377655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20183 ÷ 215
    20183 ÷ 32768     		y = 0.615936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.24468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76871612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.23187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.728449126626373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76871612} λ = -0.76871612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728449126626373))-π/2
    2×atan(0.482656949756894)-π/2
    2×0.449677155347581-π/2
    0.899354310695163-1.57079632675     		φ = -0.67144202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76871612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.044189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67144202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.470794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12375 KachelY 20183 -0.76871612 -0.67144202 -44.044189 -38.470794
    Oben rechts KachelX + 1 12376 KachelY 20183 -0.76852437 -0.67144202 -44.033203 -38.470794
    Unten links KachelX 12375 KachelY + 1 20184 -0.76871612 -0.67159213 -44.044189 -38.479395
    Unten rechts KachelX + 1 12376 KachelY + 1 20184 -0.76852437 -0.67159213 -44.033203 -38.479395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67144202--0.67159213) × R
    0.000150109999999981 × 6371000     		dl = 956.35080999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67144202--0.67159213) × R
    0.000150109999999981 × 6371000     		dr = 956.35080999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76871612--0.76852437) × cos(-0.67144202) × R
    0.000191750000000046 × 0.782925377030426 × 6371000     		do = 956.452370401646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76871612--0.76852437) × cos(-0.67159213) × R
    0.000191750000000046 × 0.782831982433096 × 6371000     		du = 956.338275895811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67144202)-sin(-0.67159213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782925377030426-0.782831982433096)×R²
    abs(-0.76852437--0.76871612)×9.33945973294881e-05×R²
    0.000191750000000046×9.33945973294881e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.33945973294881e-05×40589641000000     		ar = 914649.443690842m²