Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123744 / 24928
↖ ↑ ↗
← N 73.751205°
E159.873047°		 ← 85.46 m → N 73.751205°
E159.875793°		 →
↑
85.44 m
↓
↑
85.44 m
↓
N 73.750437°
E159.873047°		 ← 85.46 m →
7 302 m²		 N 73.750437°
E159.875793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944095611572266 y=0.190189361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944095611572266 × 217)
    floor (0.944095611572266 × 131072)
    floor (123744.5)     		tx = 123744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190189361572266 × 217)
    floor (0.190189361572266 × 131072)
    floor (24928.5)     		ty = 24928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123744 / 24928 ti = "17/123744/24928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123744/24928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123744 ÷ 217
    123744 ÷ 131072     		x = 0.944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24928 ÷ 217
    24928 ÷ 131072     		y = 0.190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944091796875 × 2 - 1) × π
    0.88818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79031105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190185546875 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94662161977124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79031105} λ = 2.79031105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94662161977124))-π/2
    2×atan(7.00498206709876)-π/2
    2×1.42899884408204-π/2
    2.85799768816408-1.57079632675     		φ = 1.28720136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79031105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28720136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.751205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123744 KachelY 24928 2.79031105 1.28720136 159.873047 73.751205
    Oben rechts KachelX + 1 123745 KachelY 24928 2.79035899 1.28720136 159.875793 73.751205
    Unten links KachelX 123744 KachelY + 1 24929 2.79031105 1.28718795 159.873047 73.750437
    Unten rechts KachelX + 1 123745 KachelY + 1 24929 2.79035899 1.28718795 159.875793 73.750437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28720136-1.28718795) × R
    1.34099999999915e-05 × 6371000     		dl = 85.4351099999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28720136-1.28718795) × R
    1.34099999999915e-05 × 6371000     		dr = 85.4351099999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79031105-2.79035899) × cos(1.28720136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279808817732291 × 6371000     		do = 85.4608152143542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79031105-2.79035899) × cos(1.28718795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279821692054617 × 6371000     		du = 85.4647473637775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28720136)-sin(1.28718795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279808817732291-0.279821692054617)×R²
    abs(2.79035899-2.79031105)×1.28743223255512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28743223255512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28743223255512e-05×40589641000000     		ar = 7301.52212052539m²