Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12374 / 20188
↖ ↑ ↗
← S 38.513788°
W 44.055176°		 ← 955.88 m → S 38.513788°
W 44.044189°		 →
↑
955.84 m
↓
↑
955.84 m
↓
S 38.522384°
W 44.055176°		 ← 955.77 m →
913 617 m²		 S 38.522384°
W 44.044189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377639770507812 y=0.616104125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377639770507812 × 215)
    floor (0.377639770507812 × 32768)
    floor (12374.5)     		tx = 12374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616104125976562 × 215)
    floor (0.616104125976562 × 32768)
    floor (20188.5)     		ty = 20188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12374 / 20188 ti = "15/12374/20188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12374/20188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12374 ÷ 215
    12374 ÷ 32768     		x = 0.37762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20188 ÷ 215
    20188 ÷ 32768     		y = 0.6160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76890787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.232177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.729407864618774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76890787} λ = -0.76890787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.729407864618774))-π/2
    2×atan(0.482194429954947)-π/2
    2×0.449301957133397-π/2
    0.898603914266795-1.57079632675     		φ = -0.67219241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76890787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67219241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.513788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12374 KachelY 20188 -0.76890787 -0.67219241 -44.055176 -38.513788
    Oben rechts KachelX + 1 12375 KachelY 20188 -0.76871612 -0.67219241 -44.044189 -38.513788
    Unten links KachelX 12374 KachelY + 1 20189 -0.76890787 -0.67234244 -44.055176 -38.522384
    Unten rechts KachelX + 1 12375 KachelY + 1 20189 -0.76871612 -0.67234244 -44.044189 -38.522384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67219241--0.67234244) × R
    0.000150030000000023 × 6371000     		dl = 955.841130000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67219241--0.67234244) × R
    0.000150030000000023 × 6371000     		dr = 955.841130000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76890787--0.76871612) × cos(-0.67219241) × R
    0.000191750000000046 × 0.782458327301687 × 6371000     		do = 955.881804121316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76890787--0.76871612) × cos(-0.67234244) × R
    0.000191750000000046 × 0.782364894372018 × 6371000     		du = 955.767662787191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67219241)-sin(-0.67234244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782458327301687-0.782364894372018)×R²
    abs(-0.76871612--0.76890787)×9.34329296683467e-05×R²
    0.000191750000000046×9.34329296683467e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.34329296683467e-05×40589641000000     		ar = 913616.595020447m²