Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123731 / 25293
↖ ↑ ↗
← N 73.468328°
E159.837341°		 ← 86.91 m → N 73.468328°
E159.840088°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.467547°
E159.837341°		 ← 86.91 m →
7 552 m²		 N 73.467547°
E159.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943996429443359 y=0.192974090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943996429443359 × 217)
    floor (0.943996429443359 × 131072)
    floor (123731.5)     		tx = 123731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192974090576172 × 217)
    floor (0.192974090576172 × 131072)
    floor (25293.5)     		ty = 25293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123731 / 25293 ti = "17/123731/25293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123731/25293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123731 ÷ 217
    123731 ÷ 131072     		x = 0.943992614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25293 ÷ 217
    25293 ÷ 131072     		y = 0.192970275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943992614746094 × 2 - 1) × π
    0.887985229492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.78968787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192970275878906 × 2 - 1) × π
    0.614059448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.92912465140992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78968787} λ = 2.78968787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92912465140992))-π/2
    2×atan(6.88348215722746)-π/2
    2×1.42653027543999-π/2
    2.85306055087997-1.57079632675     		φ = 1.28226422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78968787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.837341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28226422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.468328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123731 KachelY 25293 2.78968787 1.28226422 159.837341 73.468328
    Oben rechts KachelX + 1 123732 KachelY 25293 2.78973581 1.28226422 159.840088 73.468328
    Unten links KachelX 123731 KachelY + 1 25294 2.78968787 1.28225058 159.837341 73.467547
    Unten rechts KachelX + 1 123732 KachelY + 1 25294 2.78973581 1.28225058 159.840088 73.467547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28226422-1.28225058) × R
    1.3640000000148e-05 × 6371000     		dl = 86.9004400009428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28226422-1.28225058) × R
    1.3640000000148e-05 × 6371000     		dr = 86.9004400009428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78968787-2.78973581) × cos(1.28226422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284545317864204 × 6371000     		do = 86.9074642721528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78968787-2.78973581) × cos(1.28225058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284558393995466 × 6371000     		du = 86.9114580592198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28226422)-sin(1.28225058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284545317864204-0.284558393995466)×R²
    abs(2.78973581-2.78968787)×1.30761312619465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30761312619465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30761312619465e-05×40589641000000     		ar = 7552.47041566642m²