Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123730 / 25296
↖ ↑ ↗
← N 73.465983°
E159.834595°		 ← 86.90 m → N 73.465983°
E159.837341°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.465202°
E159.834595°		 ← 86.91 m →
7 552 m²		 N 73.465202°
E159.837341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943988800048828 y=0.192996978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943988800048828 × 217)
    floor (0.943988800048828 × 131072)
    floor (123730.5)     		tx = 123730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192996978759766 × 217)
    floor (0.192996978759766 × 131072)
    floor (25296.5)     		ty = 25296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123730 / 25296 ti = "17/123730/25296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123730/25296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123730 ÷ 217
    123730 ÷ 131072     		x = 0.943984985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25296 ÷ 217
    25296 ÷ 131072     		y = 0.1929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943984985351562 × 2 - 1) × π
    0.887969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78963994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1929931640625 × 2 - 1) × π
    0.614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92898084071106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78963994} λ = 2.78963994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92898084071106))-π/2
    2×atan(6.88249231002485)-π/2
    2×1.42650981369931-π/2
    2.85301962739862-1.57079632675     		φ = 1.28222330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78963994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.834595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28222330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.465983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123730 KachelY 25296 2.78963994 1.28222330 159.834595 73.465983
    Oben rechts KachelX + 1 123731 KachelY 25296 2.78968787 1.28222330 159.837341 73.465983
    Unten links KachelX 123730 KachelY + 1 25297 2.78963994 1.28220966 159.834595 73.465202
    Unten rechts KachelX + 1 123731 KachelY + 1 25297 2.78968787 1.28220966 159.837341 73.465202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28222330-1.28220966) × R
    1.3640000000148e-05 × 6371000     		dl = 86.9004400009428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28222330-1.28220966) × R
    1.3640000000148e-05 × 6371000     		dr = 86.9004400009428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78963994-2.78968787) × cos(1.28222330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.284584546099161 × 6371000     		do = 86.9013147035216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78963994-2.78968787) × cos(1.28220966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28459762207159 × 6371000     		du = 86.9053076090067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28222330)-sin(1.28220966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284584546099161-0.28459762207159)×R²
    abs(2.78968787-2.78963994)×1.30759724287222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30759724287222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30759724287222e-05×40589641000000     		ar = 7551.93597725086m²