Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123727 / 25297
↖ ↑ ↗
← N 73.465202°
E159.826355°		 ← 86.91 m → N 73.465202°
E159.829101°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.464420°
E159.826355°		 ← 86.91 m →
7 552 m²		 N 73.464420°
E159.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943965911865234 y=0.193004608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943965911865234 × 217)
    floor (0.943965911865234 × 131072)
    floor (123727.5)     		tx = 123727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193004608154297 × 217)
    floor (0.193004608154297 × 131072)
    floor (25297.5)     		ty = 25297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123727 / 25297 ti = "17/123727/25297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123727/25297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123727 ÷ 217
    123727 ÷ 131072     		x = 0.943962097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25297 ÷ 217
    25297 ÷ 131072     		y = 0.193000793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943962097167969 × 2 - 1) × π
    0.887924194335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.78949613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193000793457031 × 2 - 1) × π
    0.613998413085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.92893290381144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78949613} λ = 2.78949613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92893290381144))-π/2
    2×atan(6.88216239258953)-π/2
    2×1.42650299249218-π/2
    2.85300598498436-1.57079632675     		φ = 1.28220966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78949613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.826355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28220966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.465202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123727 KachelY 25297 2.78949613 1.28220966 159.826355 73.465202
    Oben rechts KachelX + 1 123728 KachelY 25297 2.78954406 1.28220966 159.829101 73.465202
    Unten links KachelX 123727 KachelY + 1 25298 2.78949613 1.28219602 159.826355 73.464420
    Unten rechts KachelX + 1 123728 KachelY + 1 25298 2.78954406 1.28219602 159.829101 73.464420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28220966-1.28219602) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dl = 86.9004399995281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28220966-1.28219602) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dr = 86.9004399995281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78949613-2.78954406) × cos(1.28220966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28459762207159 × 6371000     		do = 86.9053076090067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78949613-2.78954406) × cos(1.28219602) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.284610697991069 × 6371000     		du = 86.909300498323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28220966)-sin(1.28219602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28459762207159-0.284610697991069)×R²
    abs(2.78954406-2.78949613)×1.3075919479244e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3075919479244e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3075919479244e-05×40589641000000     		ar = 7552.28296154241m²