Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123725 / 25414
↖ ↑ ↗
← N 73.373500°
E159.820862°		 ← 87.39 m → N 73.373500°
E159.823608°		 →
↑
87.41 m
↓
↑
87.41 m
↓
N 73.372714°
E159.820862°		 ← 87.40 m →
7 639 m²		 N 73.372714°
E159.823608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943950653076172 y=0.193897247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943950653076172 × 217)
    floor (0.943950653076172 × 131072)
    floor (123725.5)     		tx = 123725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193897247314453 × 217)
    floor (0.193897247314453 × 131072)
    floor (25414.5)     		ty = 25414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123725 / 25414 ti = "17/123725/25414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123725/25414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123725 ÷ 217
    123725 ÷ 131072     		x = 0.943946838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25414 ÷ 217
    25414 ÷ 131072     		y = 0.193893432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943946838378906 × 2 - 1) × π
    0.887893676757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.78940025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193893432617188 × 2 - 1) × π
    0.612213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92332428655589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78940025} λ = 2.78940025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92332428655589))-π/2
    2×atan(6.84367102042658)-π/2
    2×1.42570274384619-π/2
    2.85140548769237-1.57079632675     		φ = 1.28060916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78940025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.820862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28060916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.373500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123725 KachelY 25414 2.78940025 1.28060916 159.820862 73.373500
    Oben rechts KachelX + 1 123726 KachelY 25414 2.78944819 1.28060916 159.823608 73.373500
    Unten links KachelX 123725 KachelY + 1 25415 2.78940025 1.28059544 159.820862 73.372714
    Unten rechts KachelX + 1 123726 KachelY + 1 25415 2.78944819 1.28059544 159.823608 73.372714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28060916-1.28059544) × R
    1.37200000001059e-05 × 6371000     		dl = 87.4101200006745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28060916-1.28059544) × R
    1.37200000001059e-05 × 6371000     		dr = 87.4101200006745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78940025-2.78944819) × cos(1.28060916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.286131571530043 × 6371000     		do = 87.3919469718689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78940025-2.78944819) × cos(1.28059544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.286144717874549 × 6371000     		du = 87.395962203868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28060916)-sin(1.28059544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286131571530043-0.286144717874549)×R²
    abs(2.78944819-2.78940025)×1.31463445061097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31463445061097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31463445061097e-05×40589641000000     		ar = 7639.11605789162m²