Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123724 / 25413
↖ ↑ ↗
← N 73.374286°
E159.818116°		 ← 87.37 m → N 73.374286°
E159.820862°		 →
↑
87.41 m
↓
↑
87.41 m
↓
N 73.373500°
E159.818116°		 ← 87.37 m →
7 637 m²		 N 73.373500°
E159.820862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943943023681641 y=0.193889617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943943023681641 × 217)
    floor (0.943943023681641 × 131072)
    floor (123724.5)     		tx = 123724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193889617919922 × 217)
    floor (0.193889617919922 × 131072)
    floor (25413.5)     		ty = 25413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123724 / 25413 ti = "17/123724/25413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123724/25413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123724 ÷ 217
    123724 ÷ 131072     		x = 0.943939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25413 ÷ 217
    25413 ÷ 131072     		y = 0.193885803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943939208984375 × 2 - 1) × π
    0.88787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78935232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193885803222656 × 2 - 1) × π
    0.612228393554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.92337222345551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78935232} λ = 2.78935232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92337222345551))-π/2
    2×atan(6.84399909266063)-π/2
    2×1.42570960181887-π/2
    2.85141920363775-1.57079632675     		φ = 1.28062288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78935232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.818116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28062288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.374286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123724 KachelY 25413 2.78935232 1.28062288 159.818116 73.374286
    Oben rechts KachelX + 1 123725 KachelY 25413 2.78940025 1.28062288 159.820862 73.374286
    Unten links KachelX 123724 KachelY + 1 25414 2.78935232 1.28060916 159.818116 73.373500
    Unten rechts KachelX + 1 123725 KachelY + 1 25414 2.78940025 1.28060916 159.820862 73.373500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28062288-1.28060916) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dl = 87.4101199992598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28062288-1.28060916) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dr = 87.4101199992598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78935232-2.78940025) × cos(1.28062288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.286118425131676 × 6371000     		do = 87.369703118665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78935232-2.78940025) × cos(1.28060916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.286131571530043 × 6371000     		du = 87.3737175295575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28062288)-sin(1.28060916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286118425131676-0.286131571530043)×R²
    abs(2.78940025-2.78935232)×1.31463983668589e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31463983668589e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31463983668589e-05×40589641000000     		ar = 7637.171684227m²