Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123724 / 25412
↖ ↑ ↗
← N 73.375072°
E159.818116°		 ← 87.37 m → N 73.375072°
E159.820862°		 →
↑
87.35 m
↓
↑
87.35 m
↓
N 73.374286°
E159.818116°		 ← 87.37 m →
7 631 m²		 N 73.374286°
E159.820862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943943023681641 y=0.193881988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943943023681641 × 217)
    floor (0.943943023681641 × 131072)
    floor (123724.5)     		tx = 123724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193881988525391 × 217)
    floor (0.193881988525391 × 131072)
    floor (25412.5)     		ty = 25412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123724 / 25412 ti = "17/123724/25412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123724/25412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123724 ÷ 217
    123724 ÷ 131072     		x = 0.943939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25412 ÷ 217
    25412 ÷ 131072     		y = 0.193878173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943939208984375 × 2 - 1) × π
    0.88787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78935232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193878173828125 × 2 - 1) × π
    0.61224365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92342016035513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78935232} λ = 2.78935232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92342016035513))-π/2
    2×atan(6.84432718062184)-π/2
    2×1.42571645947656-π/2
    2.85143291895312-1.57079632675     		φ = 1.28063659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78935232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.818116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28063659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.375072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123724 KachelY 25412 2.78935232 1.28063659 159.818116 73.375072
    Oben rechts KachelX + 1 123725 KachelY 25412 2.78940025 1.28063659 159.820862 73.375072
    Unten links KachelX 123724 KachelY + 1 25413 2.78935232 1.28062288 159.818116 73.374286
    Unten rechts KachelX + 1 123725 KachelY + 1 25413 2.78940025 1.28062288 159.820862 73.374286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28063659-1.28062288) × R
    1.37100000001666e-05 × 6371000     		dl = 87.3464100010617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28063659-1.28062288) × R
    1.37100000001666e-05 × 6371000     		dr = 87.3464100010617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78935232-2.78940025) × cos(1.28063659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.286105288261432 × 6371000     		do = 87.3656916172996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78935232-2.78940025) × cos(1.28062288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.286118425131676 × 6371000     		du = 87.369703118665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28063659)-sin(1.28062288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286105288261432-0.286118425131676)×R²
    abs(2.78940025-2.78935232)×1.31368702437351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31368702437351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31368702437351e-05×40589641000000     		ar = 7631.25471526752m²