Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123723 / 25411
↖ ↑ ↗
← N 73.375858°
E159.815369°		 ← 87.38 m → N 73.375858°
E159.818116°		 →
↑
87.41 m
↓
↑
87.41 m
↓
N 73.375072°
E159.815369°		 ← 87.38 m →
7 638 m²		 N 73.375072°
E159.818116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943935394287109 y=0.193874359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943935394287109 × 217)
    floor (0.943935394287109 × 131072)
    floor (123723.5)     		tx = 123723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193874359130859 × 217)
    floor (0.193874359130859 × 131072)
    floor (25411.5)     		ty = 25411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123723 / 25411 ti = "17/123723/25411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123723/25411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123723 ÷ 217
    123723 ÷ 131072     		x = 0.943931579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25411 ÷ 217
    25411 ÷ 131072     		y = 0.193870544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943931579589844 × 2 - 1) × π
    0.887863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.78930438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193870544433594 × 2 - 1) × π
    0.612258911132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.92346809725475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78930438} λ = 2.78930438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92346809725475))-π/2
    2×atan(6.84465528431093)-π/2
    2×1.42572331681926-π/2
    2.85144663363853-1.57079632675     		φ = 1.28065031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78930438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.815369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28065031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.375858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123723 KachelY 25411 2.78930438 1.28065031 159.815369 73.375858
    Oben rechts KachelX + 1 123724 KachelY 25411 2.78935232 1.28065031 159.818116 73.375858
    Unten links KachelX 123723 KachelY + 1 25412 2.78930438 1.28063659 159.815369 73.375072
    Unten rechts KachelX + 1 123724 KachelY + 1 25412 2.78935232 1.28063659 159.818116 73.375072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28065031-1.28063659) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dl = 87.4101199992598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28065031-1.28063659) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dr = 87.4101199992598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78930438-2.78935232) × cos(1.28065031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28609214175539 × 6371000     		do = 87.3799041037676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78930438-2.78935232) × cos(1.28063659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.286105288261432 × 6371000     		du = 87.3839193851039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28065031)-sin(1.28063659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28609214175539-0.286105288261432)×R²
    abs(2.78935232-2.78930438)×1.3146506042061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3146506042061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3146506042061e-05×40589641000000     		ar = 7638.06339133365m²