Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123722 / 25410
↖ ↑ ↗
← N 73.376643°
E159.812622°		 ← 87.38 m → N 73.376643°
E159.815369°		 →
↑
87.35 m
↓
↑
87.35 m
↓
N 73.375858°
E159.812622°		 ← 87.38 m →
7 632 m²		 N 73.375858°
E159.815369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943927764892578 y=0.193866729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943927764892578 × 217)
    floor (0.943927764892578 × 131072)
    floor (123722.5)     		tx = 123722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193866729736328 × 217)
    floor (0.193866729736328 × 131072)
    floor (25410.5)     		ty = 25410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123722 / 25410 ti = "17/123722/25410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123722/25410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123722 ÷ 217
    123722 ÷ 131072     		x = 0.943923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25410 ÷ 217
    25410 ÷ 131072     		y = 0.193862915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943923950195312 × 2 - 1) × π
    0.887847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78925644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193862915039062 × 2 - 1) × π
    0.612274169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92351603415437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78925644} λ = 2.78925644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92351603415437))-π/2
    2×atan(6.84498340372868)-π/2
    2×1.42573017384699-π/2
    2.85146034769398-1.57079632675     		φ = 1.28066402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78925644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.812622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28066402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.376643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123722 KachelY 25410 2.78925644 1.28066402 159.812622 73.376643
    Oben rechts KachelX + 1 123723 KachelY 25410 2.78930438 1.28066402 159.815369 73.376643
    Unten links KachelX 123722 KachelY + 1 25411 2.78925644 1.28065031 159.812622 73.375858
    Unten rechts KachelX + 1 123723 KachelY + 1 25411 2.78930438 1.28065031 159.815369 73.375858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28066402-1.28065031) × R
    1.37099999999446e-05 × 6371000     		dl = 87.3464099996471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28066402-1.28065031) × R
    1.37099999999446e-05 × 6371000     		dr = 87.3464099996471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78925644-2.78930438) × cos(1.28066402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.286079004777555 × 6371000     		do = 87.3758917325909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78925644-2.78930438) × cos(1.28065031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28609214175539 × 6371000     		du = 87.3799041037676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28066402)-sin(1.28065031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286079004777555-0.28609214175539)×R²
    abs(2.78930438-2.78925644)×1.31369778353374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31369778353374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31369778353374e-05×40589641000000     		ar = 7632.14569663366m²