Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123717 / 25383
↖ ↑ ↗
← N 73.397845°
E159.798889°		 ← 87.25 m → N 73.397845°
E159.801636°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
N 73.397061°
E159.798889°		 ← 87.25 m →
7 610 m²		 N 73.397061°
E159.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943889617919922 y=0.193660736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943889617919922 × 217)
    floor (0.943889617919922 × 131072)
    floor (123717.5)     		tx = 123717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193660736083984 × 217)
    floor (0.193660736083984 × 131072)
    floor (25383.5)     		ty = 25383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123717 / 25383 ti = "17/123717/25383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123717/25383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123717 ÷ 217
    123717 ÷ 131072     		x = 0.943885803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25383 ÷ 217
    25383 ÷ 131072     		y = 0.193656921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943885803222656 × 2 - 1) × π
    0.887771606445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.78901676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193656921386719 × 2 - 1) × π
    0.612686157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.92481033044411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78901676} λ = 2.78901676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92481033044411))-π/2
    2×atan(6.8538485761938)-π/2
    2×1.42591519458413-π/2
    2.85183038916826-1.57079632675     		φ = 1.28103406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78901676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.798889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28103406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.397845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123717 KachelY 25383 2.78901676 1.28103406 159.798889 73.397845
    Oben rechts KachelX + 1 123718 KachelY 25383 2.78906469 1.28103406 159.801636 73.397845
    Unten links KachelX 123717 KachelY + 1 25384 2.78901676 1.28102037 159.798889 73.397061
    Unten rechts KachelX + 1 123718 KachelY + 1 25384 2.78906469 1.28102037 159.801636 73.397061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28103406-1.28102037) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dl = 87.2189900004214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28103406-1.28102037) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dr = 87.2189900004214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78901676-2.78906469) × cos(1.28103406) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285724410638593 × 6371000     		do = 87.2493860532078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78901676-2.78906469) × cos(1.28102037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285737529900754 × 6371000     		du = 87.2533921777333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28103406)-sin(1.28102037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285724410638593-0.285737529900754)×R²
    abs(2.78906469-2.78901676)×1.31192621608545e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31192621608545e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31192621608545e-05×40589641000000     		ar = 7609.97803496294m²