Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123716 / 25396
↖ ↑ ↗
← N 73.387640°
E159.796143°		 ← 87.32 m → N 73.387640°
E159.798889°		 →
↑
87.28 m
↓
↑
87.28 m
↓
N 73.386855°
E159.796143°		 ← 87.32 m →
7 622 m²		 N 73.386855°
E159.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943881988525391 y=0.193759918212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943881988525391 × 217)
    floor (0.943881988525391 × 131072)
    floor (123716.5)     		tx = 123716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193759918212891 × 217)
    floor (0.193759918212891 × 131072)
    floor (25396.5)     		ty = 25396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123716 / 25396 ti = "17/123716/25396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123716/25396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123716 ÷ 217
    123716 ÷ 131072     		x = 0.943878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25396 ÷ 217
    25396 ÷ 131072     		y = 0.193756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943878173828125 × 2 - 1) × π
    0.88775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78896882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193756103515625 × 2 - 1) × π
    0.61248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92418715074905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78896882} λ = 2.78896882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92418715074905))-π/2
    2×atan(6.84957872750779)-π/2
    2×1.42582613917044-π/2
    2.85165227834088-1.57079632675     		φ = 1.28085595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78896882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28085595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.387640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123716 KachelY 25396 2.78896882 1.28085595 159.796143 73.387640
    Oben rechts KachelX + 1 123717 KachelY 25396 2.78901676 1.28085595 159.798889 73.387640
    Unten links KachelX 123716 KachelY + 1 25397 2.78896882 1.28084225 159.796143 73.386855
    Unten rechts KachelX + 1 123717 KachelY + 1 25397 2.78901676 1.28084225 159.798889 73.386855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28085595-1.28084225) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dl = 87.2827000000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28085595-1.28084225) × R
    1.37000000000054e-05 × 6371000     		dr = 87.2827000000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78896882-2.78901676) × cos(1.28085595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285895091025471 × 6371000     		do = 87.3197197387646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78896882-2.78901676) × cos(1.28084225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.285908219173289 × 6371000     		du = 87.3237294130266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28085595)-sin(1.28084225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285895091025471-0.285908219173289)×R²
    abs(2.78901676-2.78896882)×1.31281478176204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31281478176204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31281478176204e-05×40589641000000     		ar = 7621.67588965288m²