Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123716 / 24892
↖ ↑ ↗
← N 73.778849°
E159.796143°		 ← 85.32 m → N 73.778849°
E159.798889°		 →
↑
85.37 m
↓
↑
85.37 m
↓
N 73.778082°
E159.796143°		 ← 85.32 m →
7 284 m²		 N 73.778082°
E159.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943881988525391 y=0.189914703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943881988525391 × 217)
    floor (0.943881988525391 × 131072)
    floor (123716.5)     		tx = 123716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189914703369141 × 217)
    floor (0.189914703369141 × 131072)
    floor (24892.5)     		ty = 24892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123716 / 24892 ti = "17/123716/24892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123716/24892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123716 ÷ 217
    123716 ÷ 131072     		x = 0.943878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24892 ÷ 217
    24892 ÷ 131072     		y = 0.189910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943878173828125 × 2 - 1) × π
    0.88775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78896882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189910888671875 × 2 - 1) × π
    0.62017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94834734815756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78896882} λ = 2.78896882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94834734815756))-π/2
    2×atan(7.01708120040378)-π/2
    2×1.42924008118584-π/2
    2.85848016237167-1.57079632675     		φ = 1.28768384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78896882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28768384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.778849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123716 KachelY 24892 2.78896882 1.28768384 159.796143 73.778849
    Oben rechts KachelX + 1 123717 KachelY 24892 2.78901676 1.28768384 159.798889 73.778849
    Unten links KachelX 123716 KachelY + 1 24893 2.78896882 1.28767044 159.796143 73.778082
    Unten rechts KachelX + 1 123717 KachelY + 1 24893 2.78901676 1.28767044 159.798889 73.778082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28768384-1.28767044) × R
    1.33999999998302e-05 × 6371000     		dl = 85.3713999989183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28768384-1.28767044) × R
    1.33999999998302e-05 × 6371000     		dr = 85.3713999989183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78896882-2.78901676) × cos(1.28768384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279345577488503 × 6371000     		do = 85.3193297200973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78896882-2.78901676) × cos(1.28767044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.279358444017881 × 6371000     		du = 85.323259489354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28768384)-sin(1.28767044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279345577488503-0.279358444017881)×R²
    abs(2.78901676-2.78896882)×1.28665293785413e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.28665293785413e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.28665293785413e-05×40589641000000     		ar = 7283.99837019806m²