Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123714 / 25370
↖ ↑ ↗
← N 73.408044°
E159.790650°		 ← 87.20 m → N 73.408044°
E159.793396°		 →
↑
87.22 m
↓
↑
87.22 m
↓
N 73.407260°
E159.790650°		 ← 87.20 m →
7 605 m²		 N 73.407260°
E159.793396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943866729736328 y=0.193561553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943866729736328 × 217)
    floor (0.943866729736328 × 131072)
    floor (123714.5)     		tx = 123714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193561553955078 × 217)
    floor (0.193561553955078 × 131072)
    floor (25370.5)     		ty = 25370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123714 / 25370 ti = "17/123714/25370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123714/25370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123714 ÷ 217
    123714 ÷ 131072     		x = 0.943862915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25370 ÷ 217
    25370 ÷ 131072     		y = 0.193557739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943862915039062 × 2 - 1) × π
    0.887725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78887295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193557739257812 × 2 - 1) × π
    0.612884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92543351013918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78887295} λ = 2.78887295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92543351013918))-π/2
    2×atan(6.8581210865921)-π/2
    2×1.42600419682976-π/2
    2.85200839365952-1.57079632675     		φ = 1.28121207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78887295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.790650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28121207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.408044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123714 KachelY 25370 2.78887295 1.28121207 159.790650 73.408044
    Oben rechts KachelX + 1 123715 KachelY 25370 2.78892088 1.28121207 159.793396 73.408044
    Unten links KachelX 123714 KachelY + 1 25371 2.78887295 1.28119838 159.790650 73.407260
    Unten rechts KachelX + 1 123715 KachelY + 1 25371 2.78892088 1.28119838 159.793396 73.407260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28121207-1.28119838) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dl = 87.2189900004214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28121207-1.28119838) × R
    1.36900000000661e-05 × 6371000     		dr = 87.2189900004214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78887295-2.78892088) × cos(1.28121207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2855538170239 × 6371000     		do = 87.1972932407199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78887295-2.78892088) × cos(1.28119838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.285566936982167 × 6371000     		du = 87.2012995778098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28121207)-sin(1.28119838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2855538170239-0.285566936982167)×R²
    abs(2.78892088-2.78887295)×1.31199582670827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31199582670827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31199582670827e-05×40589641000000     		ar = 7605.43456167206m²