Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123712 / 25536
↖ ↑ ↗
← N 73.277353°
E159.785156°		 ← 87.88 m → N 73.277353°
E159.787903°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
N 73.276563°
E159.785156°		 ← 87.89 m →
7 721 m²		 N 73.276563°
E159.787903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943851470947266 y=0.194828033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943851470947266 × 217)
    floor (0.943851470947266 × 131072)
    floor (123712.5)     		tx = 123712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194828033447266 × 217)
    floor (0.194828033447266 × 131072)
    floor (25536.5)     		ty = 25536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123712 / 25536 ti = "17/123712/25536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123712/25536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123712 ÷ 217
    123712 ÷ 131072     		x = 0.94384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25536 ÷ 217
    25536 ÷ 131072     		y = 0.19482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94384765625 × 2 - 1) × π
    0.8876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78877707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19482421875 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78877707} λ = 2.78877707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91747598480225))-π/2
    2×atan(6.80376397516161)-π/2
    2×1.42486370364976-π/2
    2.84972740729952-1.57079632675     		φ = 1.27893108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78877707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27893108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.277353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123712 KachelY 25536 2.78877707 1.27893108 159.785156 73.277353
    Oben rechts KachelX + 1 123713 KachelY 25536 2.78882501 1.27893108 159.787903 73.277353
    Unten links KachelX 123712 KachelY + 1 25537 2.78877707 1.27891729 159.785156 73.276563
    Unten rechts KachelX + 1 123713 KachelY + 1 25537 2.78882501 1.27891729 159.787903 73.276563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27893108-1.27891729) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dl = 87.8560899993788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27893108-1.27891729) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dr = 87.8560899993788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78877707-2.78882501) × cos(1.27893108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287739087951381 × 6371000     		do = 87.8829238644179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78877707-2.78882501) × cos(1.27891729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287752294728889 × 6371000     		du = 87.8869575542114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27893108)-sin(1.27891729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287739087951381-0.287752294728889)×R²
    abs(2.78882501-2.78877707)×1.32067775086564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32067775086564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32067775086564e-05×40589641000000     		ar = 7721.22726055286m²