Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123711 / 25408
↖ ↑ ↗
← N 73.378215°
E159.782410°		 ← 87.35 m → N 73.378215°
E159.785156°		 →
↑
87.41 m
↓
↑
87.41 m
↓
N 73.377429°
E159.782410°		 ← 87.35 m →
7 635 m²		 N 73.377429°
E159.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943843841552734 y=0.193851470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943843841552734 × 217)
    floor (0.943843841552734 × 131072)
    floor (123711.5)     		tx = 123711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193851470947266 × 217)
    floor (0.193851470947266 × 131072)
    floor (25408.5)     		ty = 25408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123711 / 25408 ti = "17/123711/25408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123711/25408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123711 ÷ 217
    123711 ÷ 131072     		x = 0.943840026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25408 ÷ 217
    25408 ÷ 131072     		y = 0.19384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943840026855469 × 2 - 1) × π
    0.887680053710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.78872914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19384765625 × 2 - 1) × π
    0.6123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92361190795361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78872914} λ = 2.78872914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92361190795361))-π/2
    2×atan(6.84563968975315)-π/2
    2×1.42574388695758-π/2
    2.85148777391517-1.57079632675     		φ = 1.28069145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78872914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.782410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28069145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.378215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123711 KachelY 25408 2.78872914 1.28069145 159.782410 73.378215
    Oben rechts KachelX + 1 123712 KachelY 25408 2.78877707 1.28069145 159.785156 73.378215
    Unten links KachelX 123711 KachelY + 1 25409 2.78872914 1.28067773 159.782410 73.377429
    Unten rechts KachelX + 1 123712 KachelY + 1 25409 2.78877707 1.28067773 159.785156 73.377429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28069145-1.28067773) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dl = 87.4101199992598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28069145-1.28067773) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dr = 87.4101199992598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78872914-2.78877707) × cos(1.28069145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.28605272107843 × 6371000     		do = 87.3496395955866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78872914-2.78877707) × cos(1.28067773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.286065867745947 × 6371000     		du = 87.3536540886673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28069145)-sin(1.28067773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28605272107843-0.286065867745947)×R²
    abs(2.78877707-2.78872914)×1.31466675167835e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.31466675167835e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.31466675167835e-05×40589641000000     		ar = 7635.41793257869m²